DORE
Æ étant un nombre positif indépendant de ». Or, la série des intégrales (10) étendues aux variétés S, successives est convergente, puisque la somme d'un nombre quelconque de termes est inférieure au produit par p de la même intégrale étendue au domaine (D) qui correspond au domaine (1) dans l’espace où les coordonnées sont x, y et3. Donc, pour le point A, la série
> en) D( (2 Vns 2») É Dé) est convergente.
Le théorème sur le rapport des valeurs du déterminant De
en deux points d’une région R intérieure au domaine (1) montre que cette série est ne no convergente dans toute région R intérieure au domaine (1).
1 suit de là que la proposition énoncée sur la série (9) est exacte.
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7. Soit R(x, y, z) une fonction rationnelle n'ayant aucun point singulier dans (D) ni sur sa frontière : la valeur absolue de cette fonction est bornée dans (D), c’est-à-dire dans le domaine (1) quand on revient à g, k, g’. La série
D(æ,; } + ) 13 R 7 De Zn (2 ny I > (13) D RG [ Gene (22) ; n=1 est uniformément convergente dans toute la région intérieure au domaine (D); sa somme est donc une fonction holomorphe de x, y, = dans le domaine (D), ou de g, 2, g’ dans le domaine (1). Nous la désignerons par O(g, À, g'): n—=+ D( \ k OA Lie \ A Tny Vns Zn L (14) (8: À, 8) R(Zn J'ns TE PH 42) REA Soit (gns Ans g,) le point transformé de (g, k, g') par la transformation T,. Nous aurons
é D nm) ns Sn me Le O(8n lin, En) = O(£; h, se)
DC y)
Des considérations toutes pareilles à celles que M. Picard à employées pour les fonctions hyperfuchsiennes et hyperabéliennes permettent de voir que, si Æ est assez grand, la fonction @ n’est pas identiquement nulle.
8. Le‘quotient de deux fonctions @ correspondant au même entier Æ fournira une fonction invariante par les transformations du groupe discontinu considéré et se comportant dans le domaine (1) comme une fonction rationnelle. Des considérations du même genre qu'il y a un instant démontrent qu’on peut toujours s'arranger pour que cette fonction ne soit pas constante.
9. Les termes de la série (13) ne peuvent pas devenir infinis dans le domaine (D mais ils peuvent devenir infinis en dehors de ce domaine.
CT Ven)
ce domaine.
Le facteur , en particulier, a des singularités en dehors de
Soit P un point situé en dehors du domaine (1); nous supposerons que le groupe est tel qu’on puisse enfermer P dans une région R assez D(ZnsYns 3n)
D(x, 7,2) cette région soient en nombre fini. Nous allons voir que la série (9) est absolument et uniformément convergente dans toute région intérieure à la région R, abstraction faite des termes qui ont des singularités dans cette région.
Tout d’abord, nous pouvons remarquer que les termes qui ont des singularités dans la région R étant en nombre fini, leur somme est une es rationnelle.
Passons aux autres termes. Soient X, Y,Z les transformés de +, y, z par une transformation (T) quelconque : je suppose les coefficients à,, D(X, LE Z) Dir») l’intérieur de R, mais puisse en avoir sur la frontière : l’ensemble des valeurs possibles de &,, &,, ..., d, est un ensemble fermé. Soit alors A un point quelconque du domaine (1); le rapport
DIX Y:7) Le 2 |
D(X, Y,2) s Re J'; 2.
petite pour que les quantités. qui ont des singularités dans
&2, .…, d, choisis de manière que n'ait pas de singularité à
qui ne peut devenir infini, reste inférieur à un nombre fixe M. On peut même remplacer le point P par un point P’ variable dans une région intérieure à R : la conclusion subsiste. Donc, en particulier,
DIE: Yn 3,) D(x, y, 2)
<M Lny Vns Zn) D(zx, JE 3)
Fe
la série (9) est donc absolument et uniformément convergente pour les points P’.
10. On peut alors choisir la fonction rationnelle R(æ,y, =), de manière que le nombre des valeurs de » pour lesquelles la fonction R(x,,7,, 5,) a des singularités dans une région suffisamment petite entourant le point P soit fini, et pour que, pour les autres valeurs de x, cette fonction reste, en valeur absolue, inférieure à un
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nombre fixe. Alors la série (13) est absolument et uniformément convergente dans une région suffisamment petite entourant le point P, abstraction faite des termes qui y deviennent infinis : la somme de cette série se comporte, dans cette région, comme une fonction rationnelle.
LL. Si la région qu’on vient de définir pénètre dans le domaine (D), la fonction 6(g, 2, g') est prolongeable analytiquement dans cette région et estuniforme tant que le point g, h, g' reste dans cette région et dans le domaine (1). On peut en dire autant du quotient de deux fonctions @ de cette sorte, qui est une fonction invariante par les substitutions du groupe : cette fonction invariante se comporte comme une fonction rationnelle dans tout le domaine ainsi défini.
Dans tous les cas les fonctions @ et Les fonctions invariantes que nous en avons déduites sont toujours uniformes dans le domaine (1), où les fonctions O(g, 2, 4°) sont holomorphes, et où les fonctions invariantes se comportent comme des fonctions rationnelles.
12. Dans tout ce que nous avons dit, nous n'avons pas parlé des points à l'infini. Soit f(g, À, 2’) une fonction des trois variables g, h, g'; quand dirons-nous qu’elle est régulière en un point à l’infini de coordonnées homogènes 0, #,,,,æ,, æ,? Soit T une transformation (T) amenant ce point à distance finie; soient G, H, G' les transformés de g, À, g', la fonction f(g, k, 2’) devient une fonction F(G, H, G'); nous dirons que la fonction f est régulière au point à l’infini considéré si la fonction F est régulière au point transformé de ce point à l'infini. De même, nous dirons que la fonction f a une singularité essentielle ou non essentielle en ce point à l'infini, suivant que F aura elle-même une singularité essentielle ou non essentielle au point correspondant. Il est clair que cette définition n’est pas contradictoire avec elle-même ; l'arbitraire laissé dans la transformation T n’influe pas sur le comportement de la fonction F au point transformé du point à l'infini donné.
Si le point à l’infini est tel que, dans une région ayant ce point à son intérieur, il n'y ait qu'un nombre fini de termes de la série (9) qui présentent des singularités, on pourra construire des fonctions 0
et des fonctions invariantes par le groupe qui se comportent dans cette région comme des fonctions rationnelles.
13. Comme première application, considérons le groupe des puissances d’une transformation du premier type. Nous pourrons supposer que cette transformation est de la forme canonique; nous supposerons
encore qu'on à DANSE N LE Er TR . Dire, 2) Cherchons la distribution des infinis des expressions Dee Au HOT lieu de prendre pour x, y et 3 les valeurs données plus haut, nous prendrons toutefois
G, H, G sont les transformés de g, k, 2’ par une transformation T telle que les expressions de x, y, : en fonction de g, k, g' aient toutes au dénominateur un terme constant et un terme en gg’— À? non nuls. Alors, on constate que les infinis s'accumulent seulement au voisinage des variétés æ, = 0 et x,=—0, en employant les coordonnées homogènes. On peut, en choisissant convenablement la fonction rationnelle R(x, y, 3), faire en sorte qu'il en soit de même pour ces infinis, et que la condition relative à la valeur absolue de cette fonction soit aussi remplie; il suffit de prendre, par exemple,
Pa, y) 5) Bag + 2Bsh + Big + Bs(gg —h)]
A —28g+20a3h +oagzg'+as(gg —h?)
RES De Ch —
la fonction P étant un polynome en x, y, z et le dénominateur étant une fonction de la forme (1), le point #,, &,, &3, &,, &, appartenant au domaine (HT), et «, et x, étant tous deux différents de zéro; B,,8,,B,, B,, 5, sont des nombres réels, satisfaisant à la condition
BB: + B2B:+ Bi—o
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. ANT"
et tels que la fonction
Bi — Big +2 +8,g'+B;(gg —h) CCS 2 Q3 R + ag + as(2g — h?)
est la transformée de
zu: Par une certaine transformation (T). On peut d'ailleurs prendre R d’une façon différente. Les fonctions O(g, k,g') ainsi obtenues n'auront pas d’autres singularités essentielles que les variétés æ, — 0 et æ,— 0; les fonctions invariantes non plus : ces fonctions seront uniformes partout où elles existent. Les variétés précédentes seront bien effectivement des singularités essentielles pour ces fonctions, par exemple si les fonctions R sont choisies de manière que les points où les fonctions @ du numérateur et du dénominateur deviennent infinis ne soient pas les mêmes.
Il importe de remarquer que ces singularités essentielles dépendent dans une certaine mesure de la façon d'opérer. Ainsi, si l’on avait pris pour æ, y et = les valeurs données par la formule (6), les points où les déterminants RE E deviennent infinis se seraient accumulés
LV) 2 ANG IDAGE US VAE 0,7, 08617, 0. Delméme,le choix de la fonction R(x, y, :) a une influence sur la position de ces singularités.
On remarque aussi que les singularités essentielles pénètrent nécessairement dans le polyèdre fondamental, puisque les points qui ne font partie d’aucun polyèdre sont les points de deux variétés à deux dimensions seulement.
14. Comme autre application, prenons le groupe des puissances d’une transformation du quatrième type, que nous mettrons sous la forme canonique. En prenant x, y et z comme dans l’exemple précédent, et en choisissant R(x,7y, =) convenablement, on constate que les singularités essentielles des fonctions @ et des fonctions invariantes sont encore les points des deux variétés
