EE LS =I

Si l’on a pris pour centre du premier polyédre fondamental Le point

Ps LA 1 = 0

ces points ne font partie d'aucun polyèdre; il y a seulement exception pour les points de la variété

Li=—= TL; — 0;

qui font partie du contour de tous les polyèdres.

15. Nous venons de voir que, pour le groupe formé des puissances d'une transformation du premier type, les singularités essentielles ne sont pas les mêmes pour toutes nos fonctions Ô, ni par suite pour toutes Les fonctions invariantes que nous en déduisons. Supposons la transformation du premier type mise sous forme canonique, et plaçons-

nous dans le cas où Vera

Considérons une fonction f(g, k,g'), obtenue par n'importe quel moyen, et qui ne change pas quand on fait sur g, k, g' la transformation donnée : nous supposerons cette fonction uniforme dans le domaine (1), où elle se comporte de plus comme une fonction rationnelle. Nous allons voir qu'alors : ou bien tous les points de la variété

Hi 0

qui sont dans Le domaine (1H) sont des points singuliers de la fonction ; ou bien tous les points de la variété

Do 10

qui sont dans le domaine (III) sont des points singuliers de la fonction; ou bien la fonction prend la mème valeur en tous les points de ces deux variétés situés dans le domaine (HIT) et où elle est holomorphe.

Supposons en effet qu'il y ait à la fois, dans le domaine (HI), un point de chacune de ces variétés pour lequel la fonction soit holomorphe. Soient o, 6, £,, 6, 6, les coordonnées de celui qui est sur la variété æ, = 0; on peut supposer que £, n’est pas nul, car, si en un point la fonction est homolorphe, elle est holomorphe en tous les points voisins : nous prendrons donc £, = 1; les coordonnés du point seront done (0,6,, 6, 1, 6,). Pour le point de la variété æ, = x; — 0, ni Fe

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES I19

ni æ, ne sont nuls ; nous appellerons (À, 0, 0, 1, 0) ses coordonnées. Nous allons démontrer qu’en ces deux points la fonction prend la même valeur.

Soit € un nombre positif donné à l’avance ; nous allons faire voir qu’il existe un point de coordonnées (æ,,æ,, æ,, 1, æ,) du domaine (1) et un entier » tels qu’on ait les inégalités

(16) [til<e, |Zo— br <e, lt —Ë|<e, Its —Ë|<e,

et les inégalités

.2n n / æ TES 2 2 Des <QE, | A

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