OC

I o (e) (e) 1 0 0 0 I O OO ® = ne DO RL — : SO Os — 2 à OC, I O o) I (e) o O 1 0 L 0 O —I TOO OO à © — (e) : = S5SS5SS3— ; Ss — D, S? Sie * à :

| O I 0 O ae o (e) eù | OMC O0 — | HO —} 0 0 I (o) 1 (o) I 0 re) 0 1 O = de ete — S71S,S, — - SD D, — RE | O O I O 0 OO I I @ 0 I (e) o (0) I o re) (e) I o I (o) 1 I 5 Le RTE — S5S1S5 —4{ : to te) —— OO I re) OO I o. © re) I OO (e)

il O0 O 828,828, RSS 7

qui permet de changer à la fois les signes de tous les éléments a,, @, dy, ..., d,; cette opération ne change d’ailleurs pas la transformaton (T) correspondante.

Nous nous donnons une substitution (S) quelconque :

nous voulons montrer qu'elle peut être obtenue comme produit de substitutions S,, S,, S,, S.. Pour cela, nous la multiplierons à droite

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES 123

par certaines de ces substitutions; nous désignerons les résultats par la même notation que la substitution S, mais en indiquant les particularités que présentent alors les coefficients «,, a,, …., d,; finalement, nous obtiendrons la substitution unité.

Nous voulons d’abord annuler c,; si ce coefficient est nul de luimême, il n’y a rien à faire; s’il n’est pas nul, nous pouvons supposer , qu'on a

last = lets

car, dans le cas contraire, nous multiplierions à droite par $,, et nous serions ainsi ramenés au cas de l'hypothèse. Si &, est nul, nous multiplions par S,, ce qui ramène au cas où c, est nul. Si &, n’est pas nul, nous multiplions par $?, & étant un entier : cela revient à ajouter aux éléments de la troisième ligne les produits par & des éléments correspondants de la première; on choisira & de manière qu’on ait

[a +aal= = ;

sic, +aa, = 0, le but est atteint; sinon on multipliera par S, et, dans la substitution obtenue, on aura encore [a,|<|c,|; nous avons remplacé ainsi a, et ce, par des nombres plus petits en valeur absolue. Alors, on recommence les mêmes opérations : on voit que à, et c, subissent les opérations de la recherche du plus grand commun diviseur; au bout d’un certain nombre d'opérations, l’un d’eux divise l’autre ; alors, à l'opération suivante, c, est annulé, et a, est égal au plus grand commun diviseur des éléments à, ct c, de la substitution primitive.

Ces opérations n’ont changé ni la seconde, n1 la quatrième ligne. Nous opérons maintenant sur celles-ci avec S, et S; comme tout à l'heure sur les deux autres avec S, et S,; nous arrivons ainsi à remplacer b, par le plus grand commun diviseur de b, et de d,, et d, par zéro. Multiplions alors par S, : nous avons une substitution où 4, etc, sont nuls; a, et d, ne sont pas nuls ensemble.

Nous opérons alors sur la premiere et la quatrième ligne avec Îles substitutions $, et S,, de facon à annuler d;,; cela change bien les deuxième et troisième lignes, mais D, et c, restent nuls. Quand d, est

12/4 GEORGES GiRAÜD.

nul, a, est égal à + 1, puisque le déterminant des coefficients est égal . . :) È

à un; en changeant au besoin tous les signes, comme cest permis,

nous arrivons à une substitution de la forme

CC UT 0 0-0; Nb OMC IC Cl) O0, d: 14,

CCR Ii0S CIE

la substitution s’écrit donc

Pda; CRD ND RD où Os it © ch € Ch

En nous servant deS,;etdeS,, nous pouvons maintenant annuler d, ; alors on a

en multipliant au besoin par S,, on a donc

bar; de plus

Pneeth = 0

Multiplions alors par S%,; nous annulons a, et nous parvenons ainsi à la forme ;

Notre proposition est donc démontrée; les quatre substitutions indiquées sont bien fondamentales.

3. Toute transformation T du groupe arithmétique est une transfor-

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 125 mation à coefficients entiers de la forme quadratique

Li Ts + La Ty + Li

en elle-même. Nous voulons nous demander si toute transformation à coefficients entiers de cette forme quadratique en elle-même est une transformation du groupe arithmétique. Avant de répondre à cette question, nous établirons le lemme suivant :

Etant donnés six nombres entiers premiers entre eux, A,,, A,,, As A 35 Ass As Salisfaisant à la relation

AA 3 Ass — AA 0, ul'existe deux systèmes de quatre nombres entiers

ons Sn Te Ur

Os es ane MOT ; À k :

tels qu'on ait les six relations Mit Mhz À;; (MAN EN Oe SC MERE 4 De

Pour le démontrer, nons allons résoudre Le problème de la recherche de ces huit entiers. Supposons d'abord le problème résolu : nous connaissons un système de huit entiers répondant à la question. Si 4, b, ce, d sont quatre entiers tels que

CAD CN, les huit entiers suivants représentent une autre solution :

am, + bn, ami t+bnm, am;+bn,, am,;+ bn,,

CM; +dn,, CMit ds, Cm;+dn;, cm,+dn,.

Soit à le plus grand commun diviseur de », et de x,; posons Na = M0, Ni == 0:

On peut prendre a et b tels que am’ + bn =;

on posera alors Êe=n);: dm.

Alors

ami + bn —=0, CI di 0:

Ainsi, pour avoir la solution générale du problème, on peut se borner au cas particulier où x, = 0, m, n'étant pas nul. Dans cect, nous avons supposé que », et n, ne sont pas nuls ensemble; si cela arrivait, les trois entiers donnés A,,, À,,, À,, seraient nuls. Réciproquement, si ces trois entiers sont nuls, comme l’un au moins des entiers À,,, À,;, A,, n'est pas nul, 2, et n, sont forcément tous deux nuls. Nous reviendrons plus loin sur ce cas.

Supposons donc A;,, A,,, À,, non nuls ensemble, et Ti 0:

Alors m, est visiblement un diviseur commun des entiers À,,,A,,,A,,; c’est même leur plus grand commmun diviseur, car si ce plus grand commun diviseur était »,p, l’entier p serait un diviseur commun à »,, à 72. ét A 7: donc à À. a. eta À les sitentenm a ne 4 A3 Ass As, ne seraient pas premiers entre eux, sauf dans le cas OUI ULe

Donc », est le plus grand nombre commun diviseur de À,,, de A, etde A,,; ona alors

) 3 — ) LR Q mi mi mi

No —

Restent à déterminer »,, m,, m,; pour cela, nous avons les trois équations :

N3Ma— No M3 = A2 Ii Mo — Ne My = Àsy

niMa— NM = A3.

Ces trois équations reviennent à deux seulement; car, en multipliant les deux membres de la première par À,,, ceux de la seconde par —A,,, ceux de la troisième par À,,, et en ajoutant, on trouve une identité. Si donc z,, par exemple, n’est pas nul, on peut se borner à garder les deux premières équations. On arrive ainsi à un problème connu d'analyse diophantine. Les trois déterminants de ces deux équations

sont

= Nols, Moss M;

leur plus grand commun diviseur est »,. Les déterminants caractéristiques sont 3 A4 — N,Âo3 — NoAyss Po;

les deux derniers sont divisibles par », ; le premier aussi, car il s'écrit encore

I I de ee CU A,A%3) = AR dE No 3e

Donc, il existe trois entiers 72,, m,, m, satisfaisant à ces équations. Si l’on à une solution, la solution la plus générale est formée des nombres

Mi + À, Ms+ ÀnR3, my, + Àn,

À étant un entier arbitraire.

Le système le plus général de huit entiers satisfaisant à la question sera alors aM:, AM+bnr, am;+bn;, am,+ bn,,

CM. CM hs, CM+ dns, Cm,+ dn,,

avec la condition ad — be —1; on n’augmente pas la généralité en introduisant l’entier À.

Si A,,, A,,, À,, étaient tous les trois nuls, il faudrait, nous l'avons vu, prendre T0:

Mais l’un des entiers À,,, A,,, A,, n’est pas nul; supposons que ce soit À,, : alors », etre, ne sont pas nuls ensemble; l’analyse précédente s'applique quand on a permuté les indices 1 et 2.

Notre lemme est donc démontré.

On trouverait de la même façon p systèmes de r entiers

UN PR D; JL nee TU p.),

quand on donne les déterminants d'ordre p formés avec les éléments où /; a p valeurs distinctes quelconques, les valeurs données des déterminants étant liées par les relations qui existent nécessairement entre ces déterminants.

à 128 GEORGES GIRAUD.

4. Soit donc NW =2ur X:==26;7; (1) X:—2y;2} (142 200) NP— Do T: