NE

une transformation de déterminant un à coefficients entiers de la forme quadratique æ,æ,+ x,æ,+ x; en elle-même.

On a la relation 1 €1 + (1 OP} 0) d'ailleurs &,, 8,, y,, à, €, sont premiers entre eux. Il existe done deux systèmes de quatre entiers

tels que

(abhis—= ou, (bcha=Bs, (achs=—(bdho= y (ad). (cdhi=e.

Il existe alors une substitution (S) telle queles deux premières colonnes du tableau des coefficients soient formées des nombres entiers ainsi trouvés. Pour le démontrer, il n'y a qu’à remplacer les nombres des deux autres colonnes par des indéterminées, et à procéder comme quand on à démontré que toute substitution (S) est un produit des substitutions S,, S,, S,, S,;: quand on aura annulé b,, c,, d,, le nombre a, sera nécessairement égal à + 1, car les quatre entiers dont on est parti étaient premiers entre eux; on peut donc faire que ce soit un; quand, ensuite, on aura annulé d,, on aura aussi b, = + 1, puisque les six déterminants formés avec les deux premières colonnes sont premiers entre eux. Enfin, on annule &.,. Nous avons donc ramené les deux

premières colonnes à être Il O

OMOMC

nous prenons alors, pour les deux dernières, tous les éléments nuls,

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 129

saufque c, = d,= 1 (la solution la plus générale consisterait à prendre Cd, =1, c,=d,=0, a, et b, quelconques, et a, = b, = un entier quelconque); nous répétons alors les mêmes opérations en sens inverse, et nous obtenons une substitution (S) ayant les deux premières colonnes indiquées. Soit T la transformation (T) correspondante; multiplions la transformation (1) par T ‘; nous arrivons à une transformation où