III. — Fonctions invariantes
1, Nous savons former des fonctions invariantes par le groupe arithmétique, et se comportant comme des fonctions rationnelles dans le domaine (1). Ces fonctions n'auront pas de singularités essentielles à l’intérieur du polyèdre fondamental qu’on vient de trouver, qui est tout entier dans le domaine (1); mais elles peuvent en avoir aux points du contour du polyèdre qui appartiennent à la surface
GG — st 0,
savoir : des points imaginaires de la variété
TAUPE di, =), et le point réel
HE LiDE CA — V0), Une
Nous allons voir d'abord que ces points sont bien des singularités essentielles ; ensuite nous étudierons la nature de ces singularités.
2. D'abord, tout point réel est une singularité essentielle pour toutes ces fonctions, sauf pour celles qui se réduisent à des constantes. Il nous suffit pour le prouver de faire voir qu’un point réel
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES,. 149
quelconque peut être changé, par le groupe arithmétique, en un point aussi voisin qu'on veut de tout point réel donné à l’avance. Or, prenons par exemple l’origine des coordonnées
LA =UK, TRE Mini
son transformé sera, en employant les notations du paragraphe I du présent Chapitre, le point Li— Li, LAEUST L3— V1 Pi 01, Ty E1;,
%, 8 Y1s 0: :, étant des entiers quelconques premiers entre eux et satisfaisant à la relation
+ Bida+yi=0; cela donne comme coordonnées non homogènes
CE En h —— Î1 o! il
DRE ® CA CA ee CA
en supposant &, = 0. Or, soit z un entier donné; un point réel g, À, g'
| Le . + quelconque étant donné, on peut choisir quatre entiers x, , y, 0 premiers entre eux et tels que
On approche ainsi de g, 2, g' autant qu'on veut; comme valeur appro-
BÔ +- y? , 2 Q Ô + Le x chée de gg — h°?, on a — 7. On réduira la fraction Br à sa plus simple expression; soit alors À son dénominateur; on pourra prendre
RS ER à CRE RE ne œ
l’origine des coordonnées est ainsi transformée en un point aussi
CE
voisin qu'on veut du point g, k, g'; cela suppose que ce point est distance finie, mais le résultat s'étend immédiatement aux points à l'infini.
Done, si une fonction invariante par le groupe arithmétique et uniforme dans le domaine (1) n’est pas une constante, tous les points réels en sont des singularités essentielles.
Les autres points réels ont aussi comme transformés des points aussi voisins qu'on veut de n'importe quel point donné à l'avance. Pour le démontrer, nous pouvons remarquer que la substitution
