OM OMO

OO [e) NO O I o

du groupe arithmétique, répétée indéfiniment, fait tendre le point g,

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. I 47

hk, g' vers le point

Ty Te Lo = 03 10; Re

il résulte alors de l'hypothèse faite que, si g est dans une certaine région du plan de la variable complexe, la fonction considérée ne dépend que de g; done, quels que soient g, », g’, cette fonction ne dépend que de g. Mais le groupe arithmétique contient aussi la substitution

O I | LEON ON CO So do ire us 2

qui échange g et g’. Donc la fonction considérée ne dépend que de g’. Donc c’est une constante.

Ainsi, pour toute fonction invariante par le groupe arithmétique et uniforme dans le domaine (1) qui n’est pas une constante, tous les points de la variété

DEL — M 0 sont des points singuliers.

4. On peut déduire de là que, pour les mêmes fonctions, tout point

de la surface Gÿ — 3*—0o est une singularité essentielle. En effet, la substitution

IN e re) Oo | D [e] OO a D j O0 O —c d

où a, b, c, d sont des entiers tels que ad — bc— 1, change le point DA UE 10: Pi TRE dans le point ri 0, Ti — DA, Di 0 ES Didi, Pete

en choisissant convenablement £, et 5, et les entiers b et d, qui sont assujettis seulement à être premiers entre eux, on à ainsi un point

aussi voisin qu'on veut de n'importe quel point à l'infini du domaine (IL); done, tous ces points à l’infini sont des singularités des fonctions considérées.

Mais, par une transformation quelconque du gronpe arithmétique, la variété à l'infini se change en la variété

Li + Lo Lo + 2033 + Ali, À As Us — O,

di, ds, C3, &, ©, étant des entiers assujettis seulement à être premiers entre eux et à vérifier la relation

Ci As + Hay, + Ai — O.

Or, cette variété passe aussi près que l’on veut de n'importe quel point du domaine (IT). Donc, pour toutes les fonctions considérées, les points du domaine (WT) sont des singularites, nécessairement essenlielles ; c'est ce que nous voulions démontrer. Ces fonctions sont donc toutes uniformes partout où elles existent. 5. Étudions d’abord la nature de la singularité essentielle que présente la fonction sur la partie imaginaire de la variété, = x%,=x,= 0. Ce que nous allons dire peut se présenter d’une façon plus générale : cela s'applique à toutes les fonctions invariantes par des groupes discontinus comprenant une transformation du dixième type, deuxième forme. En transformant convenablement le groupe, et en prenant au besoin l'inverse de la transformation considérée, on peut admettre que cette transformation est de la forme canonique OH 0

un OMOME

SORT OMMO

Cette transformation S fait en particulier partie du groupe arithmétique. La transformation S ne change aucune des quantités e?T#, L, 2". Nous pouvons choisir dans le groupe une suite de substitutions

Ci: Go, O3

3» ess (o)

LOC RNONOEC

telle que toute substitution-du groupe puisse être mise d’une façon et

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d'une seule sous la forme SPc,, p étant un entier quelconque, positif, nul ou négatif.

Considérons une série @ correspondant au groupe; nous pouvons la regarder comme une série double, le terme général dépendant des entiers À et p.

Faisons d’abord varier p tout seul. Nous désignerons d’une façon générale par R7 ce que devient la fonction R sur les variables g, À, g’ de laquelle on a effectué la substitution +. Si # est l’exposant du déterminant fonctionnel qui figure dans le terme général de la série 6, en faisant varier p seul on à manifestement une série de la forme

D(g,A,g')1f DUN FAT Bees JR) Ce] 2,RS: | D(x, y, z) | )

R étant une certaine fonction rationnelle. La somme de cette série est D (8, À, g') D(x,%y:"2) e°*i8, dont les coefficients sont des fonctions de 2 et de 2’. Cette fonction rationnelle tend vers zéro quand e?T# tend vers zéro ou vers l'infini.