Æ CE

donc égale à | | multiplié par une fonction rationnelle de

. : : D(g, À, g' Faisons maintenant varier 2. En mettant |? (& #: #1) D(x; 7.2)

les termes de la série sont des fonctions de e?*'#, À, g', nulles pour eT8 — 0. Quels que soient À et g’, pourvu que G’ soit positif, il existe un membre positif À tel que ces fonctions soient holomorphes en eT8, À et g’ pour

| en facteur,

Deere);

enfin, la série est convergente pour |e?T#| — À. La convergence est même uniforme tant que g’ et À restent assez voisins d’un système quelconque de valeurs données et que |e**#]| reste égal à À; car on peut supposer, sans altérer la valeur du terme général, que G, reste

: L I : À Ne compris entre — > et + =; le point g, », g’ est donc dans une région

intérieure au domaine (1); donc la convergence est aussi uniforme

pour o<feris|<£A.

Donc, la somme de la série est une fonction de e?*#, de A et de g’, (ee 20

holomorphe pour e**#—o, À et g' ayant des valeurs finies quelconques ; la fonction est, de plus, nulle pour e**#— 0. Pour avoir la fonction 6, il suffit de multiplier ce résultat par le facteur

Les fonctions invariantes par le groupe arithmétique qu’on obtient comme quotients de fonctions ® se comportent donc comme des fonctions rationnelles de e?T%£, 2 et 2’, tant que L et g' restent finis et qu’on est dans le domaine d’existence de ces fonctions.

Appliquons ceci au groupe arithmétique : noùs connaissons la nature de la singularité de la fonction aux points imaginaires de la variété x, = æ, = x, = 0. En échangeant g et g’, comme c’est permis, on passe à la variété +, = æ, — æ,— 0; les fonctions @ sont égales au produit de Eee = 8)

(CRAN pour # et g finis et e*"’ assez petit, et nulle pour e?"#’— o.

k 7 | par une fonction de e**%", » et z, holomorphe

6. Etudions maintenant la singularité qui se présente au point réel Da Lo LH, Lys — I.

DICRNERE PRE) appellerons f(g, k, g'), est invariant par toutes les substitutions de la forme

En divisant la fonction @ par | | » le quotient, que nous

dc (e) Oo | LR OMOMO b a O o OT OO Le (ad — bc —1).

OO a — b GYM DORE d Le Do

Donc f(g, », 3’) est une fonction uniforme de es, e?Tis’, e?%il, Cette fonction est d’ailleurs holomorphe dans le domaine (1), et nulle pourne7#—=0 et pour et — 0101 a condiuon 000020 peut s’écrire — VE <R < + GG ou AE GG Lerrik| < 2TVGG".

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. Tu

Donc, y et y’ étant deux nombres positifs quelconques, la fonction F8; k, g') est holomorphe en eTis, e?"is" et e?** Dour

| e?Tig | < 'eT?2TY, | Ce] — CAR LS e-2rVrY | CEA — e?TVYT.

Donc, on peut développer la fonction f(g, k, g') en série de Laurent

procédant suivant les puissances positives de e°T# et de e?T#", et suivant les puissances positives et négatives de e?*À :

(27) INENOLONE ZA,8,y emitag+Bn+ye).

Cette fonction est nulle pour e?Ti£ — o : donc, « n’est jamais nul; de même y n’est jamais nul. On a donc

GE AO? PP A0 Or, f(g, h, g') ne change pas par la transformation

G—ag—2abh + bg"

H = — acg + (ad + bc)a — bdg'

G'= cg — 2cdh + ds".

Cette transformation échange donc entre eux les termes de la série (27). Or, cette transformation change e?T##s+8##T8) en e?"ias+$# 48) si l’on pose

Ada acô + oc, B'=— 2aba+ (ad + bc) —2cdy, y = ba — bdB + d'y.

Or, si 8? — 4axy est positif ou nul, on peut choisir les entiers a et c de manière qu’on ait

Pour tous les termes non nuls, on a donc