Soient

trois de ces fonctions invariantes. Si l’on considère X, Y, Z comme donnés, ces trois équations n’ont qu'un nombre fini de solutions à l'intérieur du polyèdre fondamental; ce nombre ne dépend d’ailleurs pas du système considéré de valeurs de X, Y, Z, car si, X, Y, Z variant, un point (g, L, g') sort du polyèdre fondamental, un autre y rentre par la face conjuguée.

Considérons maintenant une quatrième fonction invariante

Fr; (7220):

si l’on se donne les valeurs de X, Y, Z, on aura un nombre fini et fixe de valeurs de T correspondantes. Les fonctions symétriques de ces valeurs de T, exprimées au moyen de X, Y, Z, seront uniformes dans tout l’espace, et s’y comporteront comme des fonctions rationnelles; ce seront donc des fonctions rationnelles de X, Y,Z, comme cela résulte des travaux de M. Cousin. Donc les fonctions X, Y, Z, T sont liées par une relation algébrique.

Par suite, toutes les fonctions invariantes par les transformations du groupe arithmétique et qui sont obtenues à l’aide des fonctions @

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 192

peuvent s'exprimer rationnellement à l’aide de quatre d’entre elles. Peut-être ce nombre de quatre peut-il être réduit à trois; ce qui précède n'indique rien à cet égard.

8. Les quotients de deux fonctions des 6,,,,,,(x,y) que l’on rencontre dans la théorie des fonctions abéliennes fournissent un exemple de fonctions invariantes pour le groupe arithmétique. En effet ces quotients, quand on y fait æ = y —o, ne prennent qu’un nombre fini de valeurs quand on effectue sur g, k, g’ les substitutions du groupe arithmétique; les fonctions symétriques de ces valeurs sont donc invariantes par les substitutions du groupe arithmétique.

D'autre part, en désignant par &(æ, y) la fonction

p(z,y)=ga+ahxy + g'y?, on à

; 1 irftem+prs Gnaviy+iqum+uen+v)| e Le + .

eye HUE O,v,p,a (Ts JS k, = ) = 2, 1er

on peut donc écrire aussi Op,,,,p,9 (oo 2 RE)

iT 2 [9 2 9 ’ Less ( pyma+np ge PTE) (g—h)+(2m+2n+U+Vv)h+(2n+V)2(g—h)] ne): er ONCE

On voit donc que les quotients de deux de ces fonctions, supposées non identiquement nulles, sont aussi, dans le polvèdre fondamental,

in in : à er : — (g—h) — À des fonctions sans singularités essentielles de e‘ UC oct : F Lo 2 a A pr de e ; on constate aussi qu’il en est de même pour les différentes

valeurs que prennent ces quotients par les diverses substitutions du groupe arithmétique et par suite de leurs fonctions symétriques; ces fonctions symétriques seront alors, nécessairement, dans le même polyèdre, des fonctions sans singularités essentielles de es" de e*# et de e*78—*, Donc, une quelconque de ces fonctions symétriques est une fonction algébrique de trois de nos fonctions invariantes.