GROUPES ANALOGUES AU GROUPE ARITHMÉTIQUE

1. Considérons une forme quadratique à cinq variables, du type

() SCT Las Ts By Le) =Ui + TU; DU u?,

U,, Us, Us Us, U, étant cinq formes linéaires indépendantes à coefficients réels en æ,, æ,, æ,, æ,, æ,. Nous supposerons que la forme f soit à coefficients entiers : il existe alors des substitutions à coefficients entiers, de déterminant ur, qui changent cette forme en ellemême.

Par une certaine substitution réelle, changeant &,, æ,, æ,,æ,, x, en Zi; Boy Sss 23, 85 ON peut mettre /ésous latforme 7,2, +122. 5. A toute transformation en elle-même à coefficients entiers de la forme j, ayant comme déterminant un, correspond une transformation en elle-même, de déterminant un, la forme 3,23,+3,z,+ 2°; si, parmi ces transformations, nous ne retenons que les transformations (T), il est évident que nous obtenons un groupe de transformations (T). Nous allons voir que ce groupe est discontinu dans les

domaines (1) et (l').

2-US0iént XX, À, Xe À CelUCe devICnnent Li, Cd Le par une substitution de déterminant un changeant la forme f en ellemême; soient.U,, U;, U;, U,, Ü, ce que deviennent:u,, u,, ü,, u,, u, quandions remplace tiæ20%,, D'IDALE NE ON EN EN NE INOu avons alors

(2) U,= Lu, + Mu + Nu, + Piu, + Qu, Go LEO) L;, M;, N;, P;, Q; sont des coefficients qui satisfont à certaines relations, parmi lesquelles celles-ci :

Li MEN PQ (8) Li+Mi+N?— Pi Qi 1, L, L; + M,M: + N,N;,— P,P;— 0070: