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TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 15

En même temps que /, je considère la forme définie

(4) Pris Zn, æ3, ds, &s) = U?+ U2+ U?+ U?+ U?= jf + 2(U? + U2).

quidépend des dix paramètres L,, M;,, N;, P,, Q,, L,, M., N,, P., O., liés par les trois relations (3).

Nous dirons que la forme o est réduite si elle est de la forme

(5) Li (Ti + E19 Lo + Ei3 Ds + Eng d'a + Es Ds)? + Da (To + Eos a + Er Li + Eos 3 )?

Æ (ds + Es di + 63525) + Di (di + eds) + UiTE, les coefficients satisfaisant aux inégalités

Là me eu —- Lis, LE = — — DRE SSE [l PRE 7 Fa 2 IE

3 3 (6) re 7h B3Z 7 (quels que soient zetz)("). | |

Nous supposerons de plus que f'est à coefficients entiers, ainsi que la forme

(7) UŸ + ui + ui + ui + ui,

et que cette dernière est réduite. Si d'ailleurs la forme (3) n'avait pas ses coefficients entiers, on pourrait en tout cas s'arranger pour qu'ils soient rationnels : en multipliant la forme f par un entier, on peut donc les rendre entiers. Si maintenant la forme (7) n’est pas réduite, on peut la réduire arithmétiquement : la substitution de réduction changera f en une autre forme par laquelle nous remplacerons la forme f; cela ne change pas le groupe de transformations (T) que nous considérerons.

SOL M, IN. P,,0, 1, M, N;, Ps, 0, correspondent à uneitransformation à coefficients entiers de la forme fen elle-même, la forme ® correspondante sera à coefficients entiers.

Posons D, ile, P,+:P;=—7,

M,+ M; = p, (PEAR EEE NEUN, =,

(1) Définition due à MM. Korkine et ZoLorarerr, Sur les formes quadratiques (Mathematische Annalen, t. VI, 1873, p. 366).

les paramètres À, w, v, x, x sont assujettis aux conditions

A++ v— rm —x = 0,

Ào + io + Vo — TTo — ko = — 2;

en désignant par À4, Uos Vos Tor %o LES ConJugués dé AS Rd forme + peut maintenant s’écrire

Co Lo Vo — TRo— X49) f + 2 norme (Àu; + pus + Uy—TUy —XUs).

[ QE : 2 Si la forme f éprouve une transformation en elle-même, on constate que les nombres complexes À, u, v, æ, x éprouvent la transformation inverse de celle que subissent w,, u,, u,, u;, u,3; cette transformation

conserve la forme \° + pe? + V2 n° — 42.