PROBLÈME DES TEMPERATURES STATIONNAIRES

On peut supposer comme cas limite h = o. On aura alors :

Dans ce cas, la surface du corps est imperméable à la chaleur.

Un autre cas limite est celui où A est infini ; on a alors à la surface :

V = Vo

C'est ce qui arrive à très peu près, par exemple, quand le corps est plongé dans un liquide.

Si Vq est constant, on peut supposer :

Vo = o

car le 0 des températures est arbitraire.

22. Nous allons démontrer que chacun de ces deux problèmes n'admet qu'une solution. Pour cela nous rappellerons le théorème de Green.

Soit une surface fermée S limitant un volume T ; soit ch> l'élément de surface, ch l'élément de volume. Si U et V sont deux fonctions quelconques continues, ainsi que leurs dérivées du premier ordre à l'intérieur du volume, on a:

et dans le cas où V = U :

Supposons que le problème des températures variables ait deux solutions V et V.

On aura pour tous les points intérieurs :

et à la surface:

et, enfin, pour < = o :

V = V = cp {ooyz] .

Soit :

On voit que l'on aura pour tous les points intérieurs : à la surface :

AW H — r — ^

et, pour ^ = o :

11 suffit de démontrer que W est nul, c'est-à-dire que, si dans le problème des températures variables les fonctions Vq et cp sont nulles, la fonction V elle-même est constamment nulle.

Soit V la solution du problème dans ce cas. Considérons la fonction J :

étendue à tout le corps.

PROBLÈME DES TEMPERATURES STATIONNAIRES ^29 On aura :

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