PROBLÈME DES TEMPERATURES VARIABLES

La quantité de clialeur gagnée par la surface latérale, étant du même ordre de grandeur que cette surface ellemême, est négligeable par rapport aux quantités précédentes à cause de la petitesse supposée de e. On a donc :

H rfco c/^ (V - Vo) - ^ d. cU £ = f ^^' ^-I^- ^-

On voit que le second membre est infiniment petit par rapport au premier.

On a donc en divisant par dt rfw :

en posant:

MV-v.) + 3ïï = <'

H peut ne pas être une constante absolue ; il peut dépendre, par exemple, du degré de poli du corps. En tout cas c'est une fonction des coordonnées du centre de gravité de l'élément do.. V» peut aussi varier. Nous supposerons que Vo est aussi une fonction des coordonnées du centre de gravité

de dtM.

On peut se proposer deux problèmes différents:

1° Problème des températures variables;

2" Problème des températures finales stationnaires.

20. Problème des températures variables. - On se donne la distribution des températures au temps t = o, et l'on se propose de trouver quelle est la distribution au bout d'un temps quelconque.

Il s'agit donc de trouver une fonction V (^ x, y. ^) q^^

pour tous les points intérieurs au corps et pour toutes les valeurs positives du temps, satisfasse à l'équation :

dt telle que, pour tous les points de la surface du corps, on ait:

et qui, pour f = o, se réduise à une fonction donnée :

h et Vq sont des fonctions données des coordonnées de chaque point de la surface.

21. Problème des températures stationnaires. — On admet qu'à un certain moment la température ne varie plus, c'est-à-dire que l'équilibre calorifique est établi.

On se propose de chercher quelle est alors la distribution des températures.

Dans ces conditions on aura :

dl~ ^

V sera fonction seulement de x^ y, z, et l'équation générale du mouvement se réduira à :

AV = o.

La condition à la surface sera la même que précédemment et l'on aura :

MV-v.) + ^ = o.