VA

Et, en transformant par la formule de Green :

t- tx" (.

Or, on a à la surface:

Substituons dans la formule précédente, elle devient

f=-.yj„yM»-.rrr2(g)%..

Comme h ei k sont essentiellement positifs, on a : di

dt-""-

Et, comme on a pour t = o, V = o, d'où : J = 0.

30 ÉQUATION DU MOUVEMENT DE LA CHALEUR on voit que l'on a, pour des valeurs positives du temps :

Or nous avons déjà :

Donc on a :

D'où, par conséquent :

Le résultat subsiste même dans le cas limite où, pour certains éléments de la surface, h est infini, car pour ces points on aurait :

V = 0 et l'intégrale :

///.V^Ao = -^vg*

resterait finie.

23. Considérons maintenant le problème des températures stationnaires, et supposons qu'il comporte deux solutions V et V.

On aura pour tout point intérieur:

AV == o, AV = o

et à la surface :

"'^ - ^») + s = »• MV'-V,) + f' = o.

PROBLÈME DES TEMPERATURES STATIONNAIRES 31 ce qui donne, en posant :

AW = o

pour les points intérieurs, et :

/A\ + -^- = o dn

à la surface.

Il suffit donc de montrer que, si dans le problème des températures stationnaires Vo est nulle, la fonction V est nulle.

Appliquons la formule de Green à la fonction V, en remarquant que l'on a :

dY AV = 0, h\ -{-^ = o.

On a alors :

Le premier membre est négatif ou nul.

Le second est positif ou nul. On doit donc avoir:

Si A est infini, on voit, comme précédemment, que les résultats subsistent.

Si h est nul en tous les points de la surface, l'équation cidessus nous montre seulement que :

dx ~~ dy dz

D'où :

V = const.

Alors le problème n'est pas entièrement déterminé. Pour trouver la constante, il faut se donner la quantité de chaleur enfermée dans le corps dont la surface est imperméable.

Le cas où h est infini revient au problème de Dirichlet.

24. La solution du problème des températures variables dans le cas le plus général peut se ramener à deux problèmes plus simples.

En effet, il s'agit de trouver une fonction satisfaisant aux conditions :

dt ~

hbM

MV-Vo)

^ dn

=: 0 à la

surface,