Remarquons, d'abord, que les fonctions <f
restent finies pour r = o. On peul se demander s'il en est de même pour 0 ()•).
Nous allons faire voir (pi'il en est bien ainsi, dans le cas où V est une fonction analytique au voisinage de l'origine.
En effet, on pourra considérer alors V comme représentée par une série procédant suivant des polynômes homogènes d'ordres successifs :
Soit P„ un de ces polynômes.
Je dis qu'on peut le mettre sous la forme :
1\ = ll„ + rm„.2 + ?-''II„t +
étant des polynômes spliériques d'ordres :
En effet, le nombre des coefficients arbitraires de P,. est :
Chaque polynôme sphérique d'ordre p est une fonction linéaire et homogène de 2p -\- 1 polynômes déterminés ; donc le nombre de coeflicienls arbitraires contenus dans le second membre est :
Ce nombre est égal au précédent ; donc le développement de P„ est possible.
En portant ces expressions de P„ dans V, celte fonction se trouvera mise sous la forme :
les b restant finis pour r = o.
166. Refroidissement du cylindre. — Nous reviendrons sur la question au chapitre suivant ; mais, d'abord, nous allons nous occuper du refroidissement du cylindre, qui conduit à des équations de même forme que pour la sphère.
Considérons le cylindre de rayon 1 et limité par les deux plans :
Nous nous servirons des coordonnées semi-polaires ?', w et z.
Cherchons s'il existe des fonctions U de la forme :
z étant fonction de z seulement, et W fonction de r et co. L'équation :
(1) AU + Â'U = o
se transforme facilement en remarquant que Ton a :
AU = ZAW -f WAZ et l'on a :
ZAW -f- WAZ + kZW = o ou bien :
AW AZ , ,
Le premier membre ne dépend que de r et w ; le second, que de z ; il faut donc (jue l'on ait :
ce qui donne, en jiosant :
k — k' = k" les deux équations :
(4) AZ -f- k"Z = o
Considérons maintenant l'équation à la surface :
Pour ;■ = 1. elle devienl :
dW . ,,,, dr + '^^ - ^
Pour z =. a :
rfJ + '^/^ = ^
Pour z = — a:
-- + AZ=o
167. On voit que la fonction Z est assujettie aux mêmes conditions que celle que l'on a considérée dans le parallélipipède rectangle.
On aura donc :
Z = sin U.Z
296 REFROIDISSEMENT DE LA SPHERE ET DU CYLINDRE (X étant racine de l'équation transcendante :
tg|j.a = Afx ou bien :
Z = cos [/.z (A étant racine de :
cotg\j.a = Bjj.
A et B étant certaines constantes.
168. Cherchons maintenant s'il existe des fonctions W de la forme :
W = cp [r) . r" cos no) ou:
W = ?(»")• ^" sinno).
Remarquons que r" cosww et r" sinww sont des polynômes sphériques d'ordre w, car ce sont les parties réelle et imaginaire de la fonction analytique {oc -\- iy) "■.
On peut donc écrire :
W = cp. n
D'où l'on conclut, par un calcul qui a déjà été fait précédemment :
2n dq.
1 ' r rir
Comme l'on a ici :
d^o , i do .
dr^ r dr on en conclut :
\jdr'' r dr J
et, par suite, l'équation (3) nous donne :
dr- r dr '
Voyons maintenant ce que nous donne 1 équation à la surface :
dr '
pour )= l.
Prenons, par exemple, pour fixer les idées :
W := cpr" cosno) On aura :
d\\ dtD dr dr ' ~
ce qui donne :
pour r = i.
On verrait comme précédemment que ï- doit rester finie pour r = o.
169, Ainsi, dans le cas du cylindre, il y a une infinité de fonctions U qui sont des produits de trois facteurs :
r" cos niù ou r" sin nia et:
cp(r)
Il s'agit de savoir si l'on a bien ainsi toutes les fonctions U nécessaires pour la solution du problème.
Pour le démontrer, il faut chercher à développer une fonction quelconque en série procédant suivant ces fonctions U. Considérons donc une fonction arbitraire :
Regardons, d'abord, r et z comme constants ; V pourra se développer par la série de Fourier :
V = V A„ cosnoj -f- V B„ sin
Wio
Les A„ et les B„ sont des fonctions de r et z.
Regardons r comme constant, et faisons varier s" de — a à a.
On sait (cf. § 126) que, dans ces conditions, une fonction quelconque de z peut être développée en série suivant les fonctions Z.
On
aura
donc:
les a
et les
p étant fonctions de r seulement.
On
pourra poser :
ft
et, si l'on peut développer a' et p' suivant les fonctions cp correspondant à la valeur n^ on aura effectué la décomposition de V suivant les fonctions U.
