AU + AU

et pour r = l :

Supposons que U soit développée en une série de la forme :

U = ;^'Mr).X

les X représentant des fonctions sphériques fondamentales.

Posons :

<!^(r) = r". cp(?') On aura :

les n représentant des polynômes sphériques fondamentaux.

161. Nous allons chercher les conditions auxquelles doivent satisfaire les fonctions cp.

.7^ - 2j [^ + d:r dx + ^ ^ J

dcf t/a X

dx dr r

Donc on peut écrire :

dœ^ - ^ [d,^^ ^^ + 7- dr •^' ;^ + ^ d^\

et, en remarquant que, comme H est un polynôme homogène d'ordre n, on a :

^dn dïl , dïl

il vient

Or:

An = o et, d'autre part:

^ f/r2 ^ ,. dr Donc:

Donc l'équation (1) devient:

Par suite, il faudra que chacune des fonctions » satisfasse à l'équation différentielle :

Voyons maintenant ce que devient la condition à la limite : (2) f + m = o.

PROPAGATIUX DK la CHAI.EIK. 19

290 REFROIDISSEMENT DE LA SPHERE ET DU CYLINDRE On a :

U = y cp (r) r^X

Donc l'équation (2) donne

'^ -I- (^ + n) -, dr

pour r = i.

162. Il faut que, pour r = o, la fonction cp{r). Il reste finie. La théorie des équations linéaires nous apprend qu'une équation du second ordre admet toujours une et, en général, deux intégrales particulières développables, suivant les puissances croissantes (positives ou négatives, entières ou non entières) de r.

Soit donc :

cp(r) = ArP + A,rP-' + Ag/'?-- +

En substituant dans l'équation différentielle, on a, en identifiant à zéro le premier terme :

C'est ce (pie l'on appelle Véqnalion dèierminanle, parce qu'elle détermine l'exposant p du terme de degré le moins élevé.

Les racines sont :

FONCTIONS IIARMONinUES 291

Cette dernière racine rendrait cp (r). Il inlinie pour /• = o. Soient : s„ et ^, les solutions de lYMiuation différentielle correspondant respectivement aux deux racines de l'équation déterminante :

la solution générale sera :

mais, pour qu'elle reste finie pour >• = o, il faut que l'on ait :

163. Les fonctions ^ i^?-) qui figurent dans le développement de U sont des fonctions de n et de k ; la condition :

pour r = i. donnera donc une relation entre n et k. A chacune dos fonctions U, que nous avons définies dans le problème du refroidissement d'un corps quelconque, correspond une valeur bien déterminée de A- ; et, d'après ce qui précède, on ne pourra, en général, trouver qu'un nombre fini de valeurs de n correspondant à cette valeur de A ; la fonction U se réduira alors à un nombre fini de termes : chacun de ces termes satisfera d'ailleurs aux conditions imposées aux fonctions U. En résumé, on voit ([ue les fonctions U relatives à la sphère sont des combinaisons de termes de la forme cpll.

Si, pour chaque valeur de n, nous considérons in -{- l polynômes fondamentaux, si nous leur associons les fonctions 'y correspondant à cette valeur de n et à des valeurs

29:2 REFROIDISSEMENT DE LA SPHERE ET DU CYLINDRE convenables de h :

A',, «2, ... kf,

nous formerons ainsi des fonctions:

^,n, a^all,

que nous appellerons fonctions U fondamentales. Toutes les autres fonctions U seront des combinaisons linéaires de celles-là.

164. 11 reste maintenant à résoudre la question suivante : Etant donnée une fonction arbitraire V de r, 0 et cp, peut-on

la développer suivant les fonctions U relatives à la sphère? Nous commencerons par développer V en série, procédant suivant les polynômes sphériques fondamentaux, soit :

Considérons l'un quelconque des termes de ce développement :

0 (r).Il

n est un polynôme fondamental.

Envisageons, parmi les fonctions U relatives à la sphère, celles qui contiennent en facteur le polynôme 11.

Soient :

?|II, i^^,

ces fonctions.

Tout revient à déB)ntrer que 0 (/•) est développ ibk' suivant les fonctions cp,, 3)2...