SPUKRE ET CYLINDRE POSSIBILITÉ DU DÉVELOPPEMENT

170. En résumé, le problème du refroidissement de la sphère et celui du refroidissement du cylindre se ramènenl tous deux au développement d'une fonction arbitraire de r définie entre 0 et 1, en une série procédant suivant les fonctions cp satisfaisant aux conditions que nous avons déterminées pour chacun de ces deux problèmes.

Elles doivent d'abord satisfaire à une équation différentielle qui a la même forme dans les deux problèmes.

Nous allons donc faire l'étude de l'équation différentielle :

En posant :

et en prenant pour nouvelle variable :

on est ramené à l'élude de l'équation différentielle (1) :

qui ne renferme qu'un seul paramètre n, qui doit être entier dans le cas du cylindre et égal à la moitié d'un entier impair dans le cas de la sphère.

171. Étude de l'équation différentielle. — Cherchons d'abord s'il existe des séries procédant suivant les puissances croissantes de x satisfaisant à cette équation. On voit aisément que ces séries devront être de la forme :

et l'on trouve facilement la loi de récurrence des quantités A :

Ap + ^ (2p 4- 2) m -f 1)4- Ap,, (2« + i) (28 +2) + Ap= 0.

D'où l'on tire :

Si p est la plus petite valeur de p dans le développement, on devra avoir:

Ap, =r o, Ap ^ 0.

ce qui ne peut avoir lieu que pour les valeurs : p = o ou p = — n.

ETUDE DE l'Équation différentielle 301 Prenons d'abord la solution qui correspond à :

On pourra prendre dans ce cas :

On aura ainsi la fonction :

(-i)>{tj'

TiS + 1; r(s + H + 1)

C'est une fonction liolomorplie dans tout le plan ; ce sera la fonction o proprement dite.

172. L'équation, étant du second ordre, admet une autre intégrale indépendante de celle-là. C'est celle qui correspond en général au cas de :

On peut la mettre sous la forme :

(- ly (I)"

X étant un entier prenant toutes les valeurs positives ; mais celte série n'a de sens que dans le cas où n n'est pas entier.

I^a fonction -i/ est, comme on le voit, le produit de X --" par une fonction entière. Lorsque n est entier, la forme donnée ci-dessus pour .p devient illusoire. Nous allons chercher quelle est alors la forme de l'intégrale ■]>.

Considérons deux intégrales quelconques © et •!/ de l'é-

quation (1) ; elles satisfont à une relation différentielle du premier ordre ; on a :

■i + — ;^ o + cp = o

Multiplions la première équation par — ']/, la seconde par cp, et ajoutons ; il vient :

(.>"cp - ."^) -f- --^ (f O - .'.}) = O.

D'où l'on déduit :

Nous supposerons que l'on choisit '| de telle sorte que C soit égal à l'unité.

On aura donc:

Remarquons que la solution générale de cette équation sera :

k étant une constante arbitraire.

Divisons par cp^ les deux membres. On a, en intégrant :

h l dx

(j, élant une fonction entière qui ne s'annule pas pour x = o.