ETUDE DE L EQUA.TION DIFFÉRENTIELLE

On pourra développer la Ibnclion sous le signe / en série de la forme :

:én+ + -+ c+D^ +

On voit qu'en intéj^ranl on trouve :

'^ r= B loga; + X --".() {x).

Ainsi donc, l'intégrale <]/ se met, dans le cas de n entier, sous la forme :

■j> log>ï^ + G (a;). X--",

G (w) étant une fonction entière, et cp étant la première intégrale de l'équation (1).

173. Remarquons que, d'après la définition de la fonction J„ de Bessel :

on a

174. Reprenons maintenant l'équation différentielle sous la forme :

xf -f- (2u + 1) o' + xo = o,

et cherchons à l'intégrer par la méthode de Laplace. Posons pour cela :

- j^izx JJf-l^^

U étant une fonction de s^ à déterminer ainsi que le chemin intégratic On aura

d'intégration.

cp" = C— z^-e'-'^\] dz ; Téquation différentielle donne donc :

/"e'^-^U {x (1 — ^2j | (2^ -f- 1) iz\ dz = o. Nous allons choisir U de telle sorte que l'on ait :

é-~^W [£c (1 — ^-) + 2h + 1) iz-\ = ^ (e'=^V), V étant une certaine fonction de z. On aura :

■£ (e'=^V) = e'---^ (V + ixY).

En identifiant, on a :

U (1 — z^-) = i\, U (2w+ 1) iz = V.

D'où:

y; (2n -}-i)iz

iY " 1 ^2 '

et en intégrant:

y =:: fi- (1 ^2) 2,

A étant une constante arbitraire, et par suite

ETUDE DE L EQUATION DIFFERENTIELLE 305

on a donc :

o = A fe''^ (1 —

Pour que ce soit une solution de l'équation différentielle, il suffit de prendre le chemin dintégration de telle sorte que l'expression e'~^ V s'annule aux limites.

Or, V s'annule pour — 1 et + 1. On pourra donc prendre:

\Je''^-{l — z-f '-^ dz.

Comme cette intégrale est une fonction entière, elle coïncide avec la fonction o, que nous avons déjà définie plus haut (au facteur A près). Pour que ces deux intégrales soient identiques, il faut prendre :