Il s'agit maintenant d'avoir la seconde intégrale
Remarquons que l'exponentielle e''^ s'annule pour ^=r-j- x , lorsquelapartieimaginairede a; est positive, et pour ^ = — x, lorsque la partie imaginaire de x est négative.
On prendra donc dans le premier cas :
=Vr
'=^ U dz
et,
dans le second
cas:
= c fe'
^'- U dz
Nous appellerons la la première intégrale, et'i^ la seconde.
176. Valeurs asymptotiques. — Nous allons chercher les valeurs asymptotiques des fonctions cp, 'I2, '^3. Occupons-nous d'abord de la fonction tp. C'est une fonction de la forme :
je '-^ f[z) dz
f [z) étant développable en série au voisinage des points a et b.
Nous avons étudié des fonctions de cette forme dans la théorie des valeurs asymptotiques, et nous avons vu qu'en supposant, par exemple, la partie imaginaire de x positive, si l'on a :
r{z) = P.{z-af^...
la valeur asymptotique de l'intégrale sera:
Appliquons cotte formule au cas présent; on a rt = — 1
et, par suite :
„ 1 A = ii -^
ETUDE DE l'Équation différk.ntielle 307 l.a valeur asymptotuiue de o x est dune dans ce cas :
r(« + |)vi
en posant :
On verrait de même que, si la partie imaginaire de o: est nég-ative, z, a pour valeur asymptotique :
Dans le cas où x est réel, il n'y a pas de valeur asymptotique proprement dite; mais on verrait, en raisonnant comme on l'a fait pour la fonctioi. .1, de Bessel (cL § 109;, que:
Uni 1 -^
(2) '' '~{x) 'jz''''^]=^
ot on peut dire, en étendant, comme nous lavons déjà fait, h sens du mot valeur asymptoLique, que l'on a :
"A "- - (nf,g y
177. Occupons-nous maintenant des valeurs asymptotiques de -^g et 'h.^.
Supposons la partie imaginaire de x positive, et considé-
rons alors -j^g ; d'après ce que l'on a vu dans la théorie des valeurs asymptotiques, la valeur asymptotique de cette fonction sera de la forme :
D'où l'on déduit aisément que l'on aura :
Comme l'on a d'ailleurs :
Ci rv> — ^<^ on en déduit :
Nous supposons d'ailleurs que la constante B qui figure dans 'I/g ait été choisie de telle sorte que l'on ait:
On aura donc :
enverrait de même que, lorsque la partie imaginaire de x est négative, on a :
178. Possibilité du développement. — Soit maintenant une fonction arbitraire \ (r) définie entre 0 et 1, il
ETUDE DE L EQUATION DIFFERENTIELLE 309
s'agit de la développer en une série procédant suivant les fonctions ^ qui satisfont à l'équation différentielle :
L'intégrale (jui convient au problème est la fonction !p (ijir) que nous avons définie précédemment :
D'après la condition à la limite pour >• = 1, ^ devra être une racine de l'équation transcendante :
IJLÏ-' (|jl) -{- IIç> ([jl) = O,
en posant :
Il — H -]- h.
Dans le cas du cylindre n est entier, et dans le cas de la sphère n est de la forme ni — -^ 7n étant entier.
179. Pour effectuer le développement, nous allons, suivant la méthode générale, chercher une fonction S satisfaisant à l'équation différentielle :
l étant une certaine constante qui peut recevoir des valeurs réelles ou imaginaires.
S devra satisfaire, en outre, à la condition à la limite :
(4) f + HS = o
pour r ^ 1.
Pour intégrer l'équation, employons la méthode delà varia-
fion des constantes. L'intégrale de l'équation sans second membre est:
Considérons maintenant a et B comme des fonctions de r; elles devront satisfaire aux conditions :
D'où l'on déduit, eu tenant compte de l'équation (2):
On a donc :
S = — '^ (K) f'dC -f- ^ [i'l]j'dB
en posant :
dB = Vcp [ri] r2«-r«^2« t/r dC = Vd/ {rl)r''"^'l^''dr.
180. Il reste à déterminer les limites d'intégration, de façon que S reste finie pourr = o, et que la condition (i) soit vérifiée.
La fonction '\/ (?-E) devenant infinie pour r = o, il faudra que l'intégrale:
dB
s'annule pour r = o.
La limite inférieure est donc nécessairement zéro.
ÉTUDE DE l'É(JUATION DIFFERENTIELLE 311
On pourra donc écrire :
S = o ('•; /'^C -h 'l ir'i]frm H- 9 (ri) R
R étant une fonction de ; indépendante de r, qu'il s'agit de déterminer de manière à satisfaire à l'équation (4).
S' = lo' (r;) fdC + l'Y (/';) f'dB + ;o' : r;i R
Les deux derniers termes se détruisent, et pour r = 1 on a :
S' = ;■]>' i;) /'c/B + icp' (^) R.
La condition i\) donne donc, en posant: lo' [l) + Ho (?,) = 0
RO + 0, fdh = o.
On a donc pour S l'expression définitive:
(5) S = o {r\) fdC + •]/ -r;) ft/B - cp (r?) ^ f '/B.
181. Remarquons que l'équation ;2) ne définissait pas complètement <]/, mais la fonction S n'en est pas moins parfaitement déterminée; car si, comme le permet l'équation (2), on change <]/ en 'h -{- kz,, on voit que 0, devient 0, -j- AO, et rfC devient dC -}- kdB ; par suite S ne change pas.
182. Il faut maintenant voir que S est une fonction méromorphe de ^. Plaçons-nous d'abord dans le cas où n n'est pas entier. Je viens de dire que l'on peut, sans changer S et sans cesser de satisfaire à (2), choisir d'une infinité de manières la fonction <]>. Mais, d'après ce que nous avons vu nous pouvons choisir <\> de telle sorte que la fonction :
soit une fonction entière de l.
On en déduit aisément que les deux premiers termes de S sont des fonctions entières. Quant au troisième terme, il devient infini pour les valeurs de ç qui sont racines de 6, c'est-à-dire pour les quantités y. ; il est cependant une fonction méromorphe de;, car le facteur à exposant fractionnaire l^'* entre au numérateur et au dénominateur, et disparaît.
Dans le cas où « est entier, on a :
G étant une fonction entière par rapport à ;.
Si l'on transporte cette valeur de ^ dans l'expression de S, on voit que les seules singularités proviennent des termes qui contiennent log ;.
Calculons le coefficient de log l dans S. Ce coefficient est:
^ 0 et on voit qu'il est nul.
etudp: de l eouation différentielle 313
Donc la fonction S n'a pas d'autres singularités que des pôles.
183. Cherchons maintenant la valeur asymptotique de S, quand c croît indéfiniment dans un azimut déterminé, en laissant de côté les arguments 0 et -.
Si l'on suppose la partie imaginaire de ; positive, on choisira pour ']/, parmi toutes les fonctions qui satisfont à l'équation (2), l'expression ([ue nous avons désignée par 'j/g, et on aura d'après ce qu'on a vu :
En substituant les valeurs asymptotiques dans les trois termes de S, on voit que les exposants caractéristiques sont respectivement : 0, 0, 1 — r.
Par suite, on pourra négliger le troisième terme devant les deux premiers.
Calculons alors la valeur asymptotique du premier terme; elle est :
rY'-I L,e-'['-^-(" + 2J2l / V,.2„^):2« e\- \ 2/2]
ri) 2>J. J^ ' (2;-;,"^i
Cette expression se réduit à :
On verrait de même que la valeur asymptotique du
dr.
second terme est :
Il en résulte que l'on a :
Lorsque la partie imaginaire de ; est négative, en employant la fonction 'j/^ au lieu de ■]/.,, on trouve pour S la même valeur asymptotique.
