MV

-Vo)

' dn

et

pour les points de la surface ; c'est le problème des températures stationnaires, et la fonction V^ est, comme on l'a vu, parfaitement déterminée.

Cherchons maintenant Vj (^, x, y, z) telle que :

CAS OU LE NOMBRE DES VARIABLES EST REDUIT 33 et:

C'est le problème des températures variables pour le cas où Vq est nul.

La solution du problème général est, comme on le voit facilement :

25. Cas où le nombre des variables x, y, z, est réduit. •-- Il peut arriver, dans certains cas, que la fonction V ne dépende que de deux ou même d'une seule des variables X, y, z.

Par exemple, supposons un cylindre indéfini parallèle à Oz et supposons la distribution initiale telle que la température soit la même le long d'une parallèle à Oz. A l'origine des temps, V sera donc fonction de x ei y seulement; à un instant quelconque, V ne dépendra donc que de a; et y.

Si le cylindre est limité par deux plans perpendiculaires à Oz et que ses deux bases soient imperméables à la chaleur, tout se passe comme dans le cas précédent.

Si le solide se réduit à l'espace compris entre deux plans parallèles au plan des xy, et si la valeur initiale de V ne dépend que de x^ V ne dépendra jamais que de x.

Supposons que le solide ait la forme d'un cylindre indéfini parallèle à Ox et dont la surface latérale soit imperméable à la chaleur.

Si V ne dépend que de a; à l'instant ^ = 0, il en sera de même à un instant quelconque.

PKOPAGATION DE LA CHALEUR. 3

26. Cas d'un fil. — Considérons un fil de section constante et assez petite pour ([ue la température soit uniforme dans cette section {fig. 10).

Nous prendrons comme variable l'arc s de fil compté à partir d'une certaine origine.

Considérons deux sections droites ab et cîh' prises à des distances s et 5 -f- ds de l'origine. Soit w l'aire de la section droite, et a son périmètre.

Le volume de l'élément sera wds et sa surface latérale >sds.

La quantité de chaleur qui entre par ab est :

— Ku) dl

ds

celle qui entre par a'b' est :

La chaleur gagnée par la surface latérale est :

— H(V — Vo) adsdt.

Si l'on suppose V^ = o, cette quantité se réduit à

— HVff ds dt.

On aura, comme dans les exemples précédents :

Kw dtds -7-7- — H Va dsdt = dt — r- C.D.o) c?s ds^ dt