CHAPITRE III

27. Le premier problème traité par Fourier est celui des températures finales stationnaires dans un solide rectangulaire indéfini que l'on suppose limité par les plans :

FiG. H.

V ne dépendra que de a; et de ?/; cette fonction devra donc

satisfaire à l'équation :

et on devra avoir à la surface :

Nous supposerons A infini, c'est-à-dire que la conductibilité extérieure est assez grande pour que la surface du corps soit en équilibre de température avec le milieu ambiant.

On aura donc à la surface :

V = Vo.

Supposons par exemple que l'on ait:

potir:

TU

pour:

pour :

et pour:

f{x) étant une fonction donnée .

Fourier recherche d'abord les cas où la solution V se pré sente sous la forme :

On aura dans ce cas:

On doit donc avoir :

ou bien :

et cette égalité ne peut avoir lieu que si chacun des deux membres est égal à une constante A.

Supposons d'abord A > o, et posons : A = m^.

On a:

cp" -f- m^cp = o.

La forme générale de cp est donc :

cp = rt cos my -f- o s'inmy

a eib étant des constantes.

Mais, dans ces conditions, V ne s'annulerait pas pour y = 00.

Cette solution ne convient donc pas.

11 faut donc poser : A = — m^.

On a dans ce cas:

cp" — m^cp = o.

D'où :

cp = ae"'^ -f be-"'y.

Pour que cette expression s'annule à l'infini, il faut que a soit nul. Donc :

cp = be-"'i^.

On a d'un autre côté :

f" + wV = o.

D'où :

/" =: a sin {mx -{- 0)

et cette fonction doit s'annuler pour x = ±7^' On doit donc avoir :

— W - -f- 0 = Att w ;- -f- ^ = ^'"^

h et k étant des nombres entiers.

Ceci montre que m doit lui-même être entier. Si m est pair, on preadra 0 = o.

Si m est impair, on prendra 0 = ^•

Dans le premier cas /"(a;) est de la forme:

f[x) = (i sin 27nx Dans le second cas on a la forme :

f[x)=.t cos(2/?i — 1) ^ Et l'on aura pour la fonction V dans ces deux cas :

1» Y = Ae-2'".'/ sinSwa;

2» V = Ae-<2"»-')y cos(2'/n — i) x

Ainsi donc le problème est résolu quand f{x) a l'une des deux formes :

sin 2wa; ou cos (2w — i) x