Supposons que f[x) soit une série de la forme

f {x) = a^co?,x -\- a^ cos ^x -\- a^cosoy +

-}- 62 sin 2a; -j- b^sinÂx -{- 5g sin 6a; -}-

Considérons la fonction :

V = a^e~y cosa: -f- a^e -^•" cos3.r -{- a^e"^*' cos5a; -|-

-)- h.^e-"^'! sin2a; -|- h.e~''y sin4x +

Chacun des termes u de cette série satisfait à l'équation: Aî< = o.

De plus, chacun des termes s'annule pour o^ = ± -• de même que pour ?/ = oo.

On voit immédiatement que, si f{x) possède un nombre fini de termes, il en sera de même de V, et la fonction V est la solution du problème.

Dans le cas où le nombre des termes est illimité, on ne peut pas affirmer a priori que le même raisonnement est applicable ; il faudra préalablement étudier la série V comme nous le ferons dans les exemples suivants.

29. Quoi qu'il en soit, le problème de Fourier nous amène à considérer le suivant :

Trouver une série trigonométrique de la forme :

a^ cosa7 -\- a^ cos3.2:; + a~ cosoa; -\~

-|- ^2 sin2^ -\- b^ sin4a; -\-

représentant une fonction f [ce] pour toutes les valeurs de x

comprises entre — ^ ^^ Z'

Ce problème se ramène au suivant, traité également par Fourier :

Trouver une série de la forme :

aç^ -\- a^ cosa? -j- a^ cos2a; -j-

-|- b^ sina? -f" h.^ sin2a7 -|-

qui représente une fonction f [x) entre — u et -|- t.

Supposons que ce développement soit possible, nous allons calculer les coefiicients.

Rappelons les formules suivantes :

cos mxdx = o pour m ^ o

sinmxdx = o qviel que soit m

-TT

COS mx cos nxdx = o si m 7^ n