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Rappelons aussi la définition d'une série uniformément convergente.

Soit une série :

^<0 + W, -f tl-i H- ... + Wn + •••

dont les termes sont des fonctions de x ; la série est convergente si le reste R„ tend vers 0, quand le nombre n croît indéfiniment. Si R„ est constamment inférieur en valeur absolue à un nombre t dépendant de n, mais indépendant de a:, et que ce nombre s tende vers O quand n croît indéfiniment, la série est dite uniformément convergente.

On sait que l'on peut intégrer terme à terme une série uniformément convergente. En outre, si une série est uniformément convergente et si chaque terme est une fonction continue de x^ la somme de la série est elle-même une fonction continue de x.

30. Supposons la fonction f[x) développable en une série trigonométrique uniformément convergente.

fix) = a^ -\- a^ cosa; -j- «^'2 cos^j? -f- ... -\- a„ cosnx -\- ... -\- b^ sina; -\- b.^ s'm'ix -]-... -\- 5„ sinnx -{-.-.

Calculons par exemple a„.

Multiplions les deux membres par cos nx dx et intégrons de — TT à TT.

On aura, d'après les égalités écrites plus haut:

/ f[!X) cosnxdx = 7ra„ On voit de même que l'on a :

/f[x) smnxdx = izh,^ et, enfin :

/ f[x) dx = liza^

On a donc, en admettant la possibilité du développement:

/"H —^\ /"(*) f ^- + Z ^J cos nx j f[z) cos ns- c/^

-|-~ 7. sinna; ] f[z] sin n^'o^z.

Considérons maintenant une fonction à représenter dans l'intervalle — ( -> - ) au moyen d'une série de la forme :

f [x] = a, cos X -{• a^ cos ^x -j- , -f- (^2 si"^ ^-^ ~l~ ^4 ^i" ^^ "f"

Nous aurons résolu ce problème, si nous trouvons une fonction de x définie entre — t: et -|- ^i fpii dans l'intervalle

[ — jj' + à ) ^® réduise à la précédente, et telle que la série

trigonométrique qui lui correspond soit de la forme ci-dessu^.

Si, dans cette série, on change x en - — x ou en — - — x, la valeur de la série change de signe, et d'ailleurs toute série jouissant de cette propriété a nécessairement la forme précédente.

Si X est compris entre o et ^"- tt — x est compris entre r et TT.

Si X est compris entre — 5 Pt o, — - — x est compris

entre — r et — -•

Nous définirons donc une fonction tp [x] de la façon suivante :

— - . - ) elle aura les valeurs de la fonction f{x).

Dans l'intervalle [ — tt, — - J on aura:

? (^) = — /"(— "^ — ^) et dans l'intervalle ( ^' ~) on aura:

o (x) = — /"(tt — x).

31. Supposons, par exemple, que 1 on ait f{x) = 1 dans l'intervalle ( — |' |V

Nous aurons alors :

TT

Entre — tt et — - : cp (a?) = — 1

Entre— I et |: <p (a?) = 1

Entre ^ et tt : cp (a;) = — 1.

Pour cette hypothèse particulière, la fonction <p {x) est paire, et on voit aisément que tous les termes en sinus disparaissent, et on aura pour m, impair :

/lit .-.Tx:

T:a.„ = / cp [x) cos mx c?if = 2 / cp (i») cos mx dx 7ra,„ = 2 / cos 7nx dx — 2 / cos mx dx