TZ

7ra,„ =: ± — 5 - a,„ =±: — -

On a donc le développement :

TT cos 3x , cos oic = cos^ 4- —:;

et la solution V sera dans ce cas donnée par la formule :

7r ,, COS 3x »,, , cos ox

- V = cosa7e--v — — — — c ^^ 4- e-^'-^ — . .

32. Ayant obtenu cette série, satisfait-elle à toutes les conditions du problème ?

Satisfait-elle à l'équation AV = o ?

Cherchons, d'abord, si elle admet des dérivées du second ordre par rapport k x et y.

Si les séries formées avec les dérivées du second ordre de ces termes sont uniformément convergentes, on est certain que ces séries représentent les dérivées du second ordre de la série v V.

Difîérentions deux fois par rapport à x. On a la série : — cosa;e-'/ -|- 3 cos'ixe-'^y — 5 cosSa^e--'^ -|-

Les termes de cette série sont plus petits en valeur absolue que ceux de la série:

qui est uniformément converf,^ente pour toutes les valeurs positives de y, les seules que nous considérons. Les dérivées secondes existent donc et peuvent être obtenues en difîérentiant notre série terme à terme : on en conclut aisément qu'on a pour tous les points intérieurs au solide: