Considérons la somme
cos3d3 , cos (2m — \] X
S,n := cosa; — — r— + -
où nous supposons m pair.
On a:
— r^ =3 — sin X -\- sin 3 a; — + sin (2m — 1) ^
dx
Multiplions par 2î.
Comme l'on a :
2i sin a: = e'-^ — e~'-^ Il vient:
2i — -" = — e'^ 4- e^'^ e^'x I I g(2m ~^)ix dx '
I Q-ix g- 3/x | Q—'6ix Q—\.2rn - \)ix
On a deux progressions géométriques limitées dont les raisons sont — e^'-^ et — e~^'^.
Donc on a:
f^g gix \Qi2rn + \)ix e~'^ Q-{2m + \)ix
^' lïx ~ 1 -|- e2.x H 1 -)-e-2'^
^ g2/ntx g-awx ^ ; sin 2ma; e'-^ -j- e~'^ cos a:
SOLIDE RECTAxXGULAIRE INDEFINI 47
On a donc :
(fSm sin 2-//?a?^
dx 2 cos X
Nous allons démontrer tiue la série obtenue en faisant croître m indéfiniment a une valeur constante, si x est compris
entre — - et -
On a, en efîet:
2 cos a;
Intégrons par parties :
cos2^».r sincg 4mcos2a-
i»o et x^ sont compris entre — ^ ^^ ^' donc cos a; ne s'annule pas dans l'intervalle. Par suite, le premier terme du second membre tend vers 0, quand m croît indéfiniment. Il en est de même de l'intégrale.
Donc, on a:
lim S,„ [x^) — lim S,„ {xq) S (a;,) = S {x„).
La fonction S {x) représente donc une constante. Pour la déterminer faisons x = o. On a :
s (o) = f Donc, pour toute valeur de x comprise entre — g et - on a:
■x cos 3a; , cos oa*
- = cosa; — — ij — -j- — ;; — — "'
34. On peut donner de cette identité une autre démonstration.
On a:
. / dz
en supposant, par exemple, m impair.
En intégrant, on a :
arctg^= . -- -h^- . • +^;^^3^- R,„.
I z Rm = / -. — : ^ dz.
Posons:
z = pe'", p < 1-
On a pour K,„ en intégrant le long de la droite oz :
pÇ „2/« p(2m + 1)10)
On a :
A étant l'affîxe du point — 1, B celle du point z^, AB représente le module de la quantité 1 -f- z'^ [fig. 12).
Si 10 < T» on a: 2aj < -? et, par suite, on voit que: AB > 1.
Si 0) > -5 2oj > -1 et on a:
AB > I sin 2co |
SOLIDE RECTANGULAIRE INDEFINI De toute manière on a donc :
AB > -, (o)) > j^
FiG. 12.
^ étant différent de zéro.
Mp2"' + *
FiG. 13.
Quand m croît indéfiniment Rm tend vers zéro, et ceci est encore vrai pour p = 1, car il reste alors:
Rm I < =9
Dans l'expression de arc tgz remplaçons z par e'" et e""^, et ajoutons les deux développements :
arc tg e"*> -f- arc tg e-''^' = --\~ k-K. Donc on a :
Tz , , ,. 2 cos 3(1) , 2 cos 5(0 - -f- Att = 2 cosco — ^ + g
K est un nombre entier, que l'on détermine en faisant o) = o. On voit que K = o, donc :
TT cos 3(0 , cos5i
- =: cos (O
