Revenons au cas général

Nous avons trouvé :

y = \ a,n cosinx e-'"^ -)- V ù,„ sin moG e-'"y

les a étant à indices impairs, et les h à indices pairs. Nous poserons :

z = ie~y + ''^.

D'où:

j^m ■—. j/n Q— my + mix

La partie imaginaire de z"* est, suivant la valeur de m :

si : wi = 4[j[ -)- 1, t;-'"i/ cos mx

si : ni = 4u. -|- 2, e~'"-y sin mx

si : m = 4^. -|- 3, — e-"^y co^mx

si : m rrr 4[x, e-"'v sin jtîo;.

Suivant ces différents cas, nous poserons:

si : m = 4a -f- ^ ' ^'"t = ^m

si : m r=: 4[jL -f- 2, X„, = — à,n

si : m = 4jji + 3, Xm = — ^m

si : m = 4[x, X,„ = i„,.

Et nous considérerons la fonction :

cp (z) = ^ X„. z"*.

On voit que V est la partie imaginaire de f {z).

Les coefficients de tp (z) sont réels. Donc, siz est réel, ona :

z est réel si a; = ± ^- Donc Y est nul pour ces valeurs.

Soit Zq l'imaginaire conjuguée de z.

On a:

cp (-2-) — CP (^o).

Appliquons au cas particulier que nous avons déjà étudié :

TT ^r cos3a? ,., ,

- \ = cosa;?-y — — - — e-^y + •••

La fonction c& [z) correspondante sera donnée par : = - arc tgi^.

On a:

D'où:

^î(-o) =-rarcigiz^

- V =r arc tg 'iZ(^ — arc tg iz iZn — iz

= arc t o- - — r — ■ — ~ =: arc ta: -t~^

= arc is'