CHAPITRE IV

SÉRIE DE FOURÏER. — THEOREME DE DIRICHLET

37. Dans les considérations précédentes nous nous sommes servis de fonctions supposées développables en série de Fourier.

Nous allons indiquer maintenant des conditions très générales sous lesquelles ce développement sera possible.

Condition de Dirichlet. — Nous dirons qu'une fonction f[x) satisfait à la condition de Dirichlet, lorsqu'elle peut être regardée comme la différence de deux fonctions dont chacune reste constamment finie, et n'est jamais croissante.

Chacune de ces deux fonctions peut toujours être supposée positive. En effet, soient f^ et f^ ces deux fonctions, et soit — a la plus petite valeur qu'elles peuvent prendre. On prendra alors :

CONDITION DE DIRIGHLET 55

Nous allons montrer qu'une fonction, qui n'a dans un

intervalle donné ({u'un nombre fini de maxima et de minima,

satisfait à la condition de Dirichlet. Supposons, par exemple,

que la fonction présente un maximum et un minimum.

Appelons B et C le maximum et le minimum, et soient h et c les valeurs de x correspondantes.

Soit a une constante.

Dans le premier intervalle (a, b) nous prendrons :

Dans le deuxième intervalle (è, c) nous prendrons :

Enfin, dans le troisième intervalle (c, d) :

On voit que les fonctions /'^ et /"a ainsi définies ne sont jamais croissantes dans l'intervalle a, d, et, de plus, on pourra prendre oc assez grand pour qu'elles soient positives dans cet intervalle.