SÉRIE DE FOURIER. THÉORÈME DE DIRIGHLET

Si deux fonctions satisfont à la condition de Dirichlet, il en est de même de leur somme ou leur produit. Soit /• = A — B :

On a:

/ + r = (AH-C)-(B-l-D)

et les fonctions (A + C) et (B + D) ne sont jamais croissantes.

De même, on a :

r.f= (AC + BD) — (AD + BC)

On voit encore que les deux fonctions:

(AC -f BD), (AD + BC)

ne sont jamais croissantes.

Une fonction satisfaisante à la condition de Dirichlet peut être discontinue.

Soit:

/•= Tk - A Ona:

f^ [oc -^-li] < /, [x] si h-> o

et f^ {x -f- h) croît quand h décroît.

Donc f^ (a? -j- ^) a une limite quand h tend vers zéro. De même, f ^ [x — A) a une certaine limite quand h tend vers zéro.

La limite de ^ {x -\- h) est inférieure ou égale à f^ (a;), celle de /", [x — h) est supérieure ou égale à f^ {x).

CONDITION DE DIRIGHLET 37

Si ces deux limites sont égales, elles sont égales à /", {x), et la fonction est continue pour la valeur x. On a:

Ce qui précède montre que f {x -\- h) et f {x — h) tendent vers des limites déterminées, quand h tend vers zéro ; ces limites peuvent être diiïérentes ; si elles sont égales entre elles et égales a f{x), la fonction /" (a?) est continue pour la valeur x.

38. Théorème, — Si une fonction f {x) salisfail à la condition de Dirichlet dans Vinlervalle ( — tt, -f- '^)» ^'^^ 'pourra être représentée dans ce ynème intervalle par une série de Foicrier, c'est-à-dire que l'on aura :

TT f{x) = - f{z)dz -|- V cosmx j f[x) co^mzdz -\- >j sinma; / f[z) s'xnmzdz

Il faut, d'abord, établir l'existence des intégrales qui expriment les coefficients.

Nous allons, d'abord, montrer qu'une fonction qui n'est jamais croissante est intégrable.

Pour cela, reportons-nous à la définition de l'intégrale.

Considérons une fonction f[x) définie dans l'intervalle àe ak h.

On insère entre a eih des valeurs intermédiaires :

X^ X^ . . . Xn — \

58 SÉRIE DE FOURIER. THEOREME DE DIRICHLET

et on pose :

Soient M/ et m,- le maximum et le minimum de f [x] dans l'intervalle 8/.

On forme les deux sommes :

S = M^8, + M280 -Y ... -h IVU- +...+■ M„B„ s = >n,8, -\- m^o.^ -f ... + m,S,- + ••• + "^«5«

On démontre que, lorsque les intervalles 8 tendent vers zéro suivant une loi quelconque, S et s tendent vers des limites fixes L et l.

Pour que la fonction soit intégrable il faut qu'on ait :

Supposons que, dans l'intervalle (a, b), f [x] ne soit jamais croissante.

On aura alors :

M.i = r[xi.,)

rrii = f[xi) Donc :

s-s = ^[r[x,,)~r{xt)]Zt

Gomme la loi de formation des intervalles est quelconque,

prenons :

On a alors :

CONDITION DE DIRICHLET 59

Quand n croît indéfiniment :

lim (S — s) = o.

Donc, la fonction f{x] jamais croissante est intégrable.

Si une fonction satisfait à la condition de Dirichlet, elle est la différence de deux fonctions intégrables; donc elle est elle-même intégrable.

Les fonctions sin mz, cos mz satisfont à la condition de Dirichlet.

Si donc f'{Zj satisfait à la condition de Dirichlet, il en sera de même des produits:

f{z)cosmz, f{z) sin 7nz.

L'existence des intégrales qui figurent dans la série est donc démontrée.