Considérons

S„, =z f{z). (s^ dz

OÙ l'on a posé :

<ï^ =: - -|- COS X COS z -\- 4- COS mx cos mz

-f- sina: sin^ -|- -^ sinmx sininz

d'où :

(j„, = - -|cos(z — x) -[-cos2 {z — oc)-\- -j-cosm {z — x).

Posons:

60 SERIE DE FOURIER. THEOREME DE DIRICHLET Multiplions les deux membres par 2 sin^? on voit que l'on a:

r. • V ■ 2w + 1 2(ï,„ sm ^ = sin ^ — y.

Posons alors:

sinixy

2 sin -

D'où:

/ ^, , sin UL (2- — a;) ,

/ n^) — 4^^ — zi^^

a; étant compris entre — tt et -|- tu, partageons l'intervalle d'intégration en deux parties :

Transformons la première intégrale en posant :

Elle devient:

}{x — y) sin ny , Ç'yrjx — y) si" W/ ^, . 2sm| ^„ 2si„| ^

Pour la seconde intégrale posons:

CONDITION DE DIRICHLET 61

elle devient:

fix