J HE

^sin,..y

Posons :

ay = 2

L'intégrale devient :

(«4 nit .

clz

Elle est donc indépendante de a.

De plus, si on pose :

Ho,. = B, - B, + + B,A-, - B,,.

On a:

H2A < H < Ho*,

Revenons à l'intégrale J et supposons, d'abord, 0 {y) constamment décroissante et positive. La fonction à intégrer change de signe pour les valeurs :

a ijL

64 SÉRIE DE FOUR 1ER. THEOREME DE DIRICHLET X étant le nombre entier tel que :

fX ^ ^ [X

Posons, de même que précédemment

A, = / ,(y)^rfy

^^=Ç\(y)-^ay

On voit aisément que les A sont positifs et décroissants, et que l'on a :

J2/. < J < Jo/t-l

Considérons l'une quelconque des quantités A, par exemple :

f (3/) reste compris entre tp ( — j et cp I — y

CONDITION DE DIRICHLET 05

On a donc :

. /2Tr\ / sin ixy ,

«.>.lrll ™*

ce qui peut s'écrire :

Si a croît indéfiniment, on aura à la limite, en appelant f (e) la limite de cp {x), quand x tend vers zéro par ses valeurs positives :

lim A3 = cf (e) B.^

et d'une façon générale:

lim A„ = 9 (e) B„ On en conclut :

lim J2;t i = ^(s). Ho^., p. = 00

lim J-ik = ^ (e) HoA Je dis qu'on peut trouver a assez grand pour que l'on ait :

I J - lU (s) I < Yl

Y, étant aussi petit que l'on veut.

On a, en effet :

J — Ib (£) < Joyt-i —Ihk^ (e)

66 SÉRIE DE FOURIER. THEOREME DE DIRIGHLET ce qui peut s'écrire :

J — H-^ (e) < [Jo/,-. - îlu-s cp (e)] + Buo (0-

On peut prendre k assez grand pour que Bo^. soit aussi petit que l'on veut et, par conséquent, pour que l'on ait:

et, k étant ainsi déterminé, on pourra fondre jx assez grand pour que :

.J2A— I — Hi/t-i ^ (e) < ■^^

D'où:

J — Hep (e) < Yi.

On démontrera de même que :

Hep (c) — J < -q

en remarquant que l'on a :

Hcp(e) — J < U.2k-if{e) — hjc- Le raisonnement qui précède montre que : lim J = cp (e) H

Si la fonction cp, sans être décroissante, satisfait à la condition de Diriclilet, il en sera encore de même. 41. Revenons à la fonction S,„ :

J 0 2 sin I ^ «^ 0 2 sm I ^