EXEMPLES DIVERS

Les fonctions : ^^ ^^ + -^^ et ^/^^^H^

et 2sin| 2sin|

restent finies et satisfont à la condition de Diriclilet.

Appliquons les résultats précédents :

Les valeurs limites des fonctions précédentes quand y tend vers zéro sont respectivement :

et :

On a donc :

lim S,„ = 11 [/ (a; -f e) -f / (a; — e)]. Si la fonction est continue :

H est une constante. Pour la déterminer, faisons f{cc) = 1 ; on a, en se reportant à la série de Fourier :

Donc:

lim S,„ = I [/" (a; -h e) + /• (a; - e)]

et, si la fonction est continue :

lim S„, = t: f{x).

42. Exemples divers. — Reprenons l'exemple que nous avons considéré.

68 SERIE DE FOURIER. THEOREME DE DIRIGHLET Nous avons obtenu :

cos3a? , ces Sa; tt

cosa; 5— i-—, = -

quand :

La valeur de cette série est — - quand :

ou:

Voyons ce qui se passe au voisinage de a; = ^

Si: ^ = â — e,

on a : f{x) = -

et si : a; = - 4- e

on a : /" (a;) = - ^•

Donc, d'après ce que l'on a vu précédemment, la valeur de la série pour ce = - doit être zéro, ce que l'on vérifie immédiatement.

Cherchons comme autre exemple le développement de la fonction x. C'est une fonction impaire, donc le développe-