X . sin2a; , sin3a

quand :

— TT < a; < TT.

Quand x augmente de Stt, la série ne change évidemment pas de valeur; on a donc, en appelant y cette série, pour :

pour:

Stt,

- TT

Stt,

y = | — 27C ... etc. ...

Nous allons étudier une série analogue à la précédente :

cos£: cos 2a; cos3a; 1 2 ■" 3 ~""

et pour cela nous allons considérer d'abord la série ima-

70 SÉRIE DE FOURIER. THEOREME DE DIRIGHLET ginaire :

Cette série représente, comme on le sait, la fonction:

pour toutes les valeurs de x qui ne sont pas des multiples impairs de tt.

La partie réelle de cette fonction est :

L I 1 | e"* I r= L V^ +■ 2 cosa? = L 2cos -•

On a donc, pour toutes les valeurs de x qui ne sont pas des multiples impairs de tt :

^ X cos;^' cosâa? , cosSa;

L 2cos- .-=-^^ ~2~'^~3~"" •■'

Dans la série qui donne le développement de -? changeons a; en 7t — x; on aura :

71 — X sina; sin2a; , sin3a7 ,

le développement étant valable entre 0 et Stc,

La série L 2cos - devient, par le même changement :

^ ^ . X cosa; cos2a;

L 2sm 2 = — HT" "~ ~^~

cette formule étant valable entre 0 et 27r. La convergence ne peut pas être uniforme au voisinage de a; = 2A7r, car