Théorème d'Abel. — On considère une série

<^ = iii -\- u^ 4- "3 + ••• + W'« + •■•

que l'on suppose convergente ou simplement oscillante. Si la série est convergente :

\im{(j„ + p — (T„) = o,

quel que soit p, quand n croît indéfiniment; on peut donc prendre n assez grand pour que :

\ ^n + p — <ï'i I <! Prti

p„ étant une quantité aussi petite que l'on voudra.

Dans le cas d'une série oscillante, on peut écrire la môme inégalité ; mais p„ ne représente plus une quantité infiniment petite ; mais c'est une quantité finie.

Considérons une suite de nombres positifs décroissants et tendant vers zéro :

aj , ttj, ... *rt •••

je dis que la série :

est convergente.

Pour le démontrer, nous allons chercher une limite supérieure du reste.

72 SÉRIE DE FOURIER. THÉORÈME DE DIRICHLET On a:

le second membre peut s'écrire :

'^n + I (5,1 + ( ff») "{-••• + a„ + p (5„ ^p (J„ + p ^ )

ou bien encore:

... -\- V-n-r p [{^11 -t p <ï") (ff;l + p-i ffjj)]