Conséquences de l'hypothèse de Fourier. — En

admettant riiypollièse de Fourier :

on voit que, si toutes les températures sont augmentées d'une même constante, la quantité de chaleur reste la même.

Si elles sont multipliées par une même constante, la quantité de chaleur sera également multipliée par cette constante.

8. Flux de chaleur. — Nous avons dit que » (p) était négligeable dès que p devient supérieur à une certaine limite. Soit e cette limite.

Considérons un élément de surface do) très petit en valeur absolue, mais infiniment grand par rapport à e (/?^. 2).

Soient deux molécules m^, m^ situées de part et d'autre de l'élément dit) ; >«o cède à m, une certaine quantité de chaleur ; considérons tous les couples de molécules tels que [m^nif) et faisons la somme des quantités de chaleur correspondantes. Cette somme est, par définition, le flux de chaleur qui traverse l'élément doi.

D'après ce que nous avons dit plus haut, si toutes les températures sont augmentées d'une môme constante, le flux de chaleur reste le même ; si elles sont multipliées par un même nombre, le flux de chaleur est multiplié par ce nombre.

9. Considérons un corps possédant un plan de symétrie P, et supposons que la distribution des températures soit également symétrique par rapport à ce plan P. Le flux de chaleur relatif à un élément dto pris dans ce plan est évidemment nul.

Il en sera encore de même si, sans être lui-même symétrique, le corps est tel que la distribution des températures le soit. Cela résulte de ce que les échanges de chaleur ne se

ont qu'entre des molécules très voisines. On peut par conséquent, sans que le flux change, supprimer les portions du corps qui ne sont pas contiguës à l'élément «A», et réduire le corps à une petite sphère ayant pour centre cet élément- Cette sphère étant symétrique par rapport au plan P, nous sommes ramenés au cas précédent.

Considérons maintenant un corps symétrique par rapport à un point 0, et supposons aussi la distribution des températures symétriques par rapport à ce point. Le flux de chaleur sera le même en valeur absolue pour deux éléments du> et dm' symétriques par rapport au point O.

Il en sera encore de même pour la même raison que plus haut, si la distribution des températures seulement est symétrique.

Si, enfin, la distribution des températures est telle que deux points m et m symétriques par rapport au point O aient des températures égales et de signes contraires, les flux relatifs à deux éléments symétriques seront égaux en valeur absolue. 11 en sera encore de même si la somme des températures de deux points symétriques, au lieu d'être nulle, est égale à une constante quelconque :

10. Problème. — Soit un corps quelconque ; supposons que la loi des températures soit la suivante

y ~az-\-h

Soit un élément dxo situé dans un plan parallèle à Oz. La distribution des températures est symétrique par rapport au plan de cet élément ; donc le flux de chaleur qui le traverse est nul. De même, le flux de chaleur à travers la surface

latérale d'un cylindre parallèle à O^ est nul, puisque les éléments de cette surface latérale ontleur plan parallèle à Oz. Considérons maintenant deux éléments plans perpendiculaires à Oz, par exemple deux petits carrés égaux ; soient a et a' leurs centres. Joignons aa'; soito, le milieu {/îg. 3).

FiG. 3.

Soient z^ et z^ les ordonnées des deux éléments, et Ç celle du point O^ ; on a:

La distribution des températures est telle que la somme des températures de deux points symétriques par rapport à 0^ est constante. En effet, on a :

Donc les deux flux à travers les éléments doi et dta' sont égaux ; par suite, le flux est constant à travers un élément de surface quelconque parallèle à xOy.

Considérons un élément dw quelconque, fini ou non, dans le plan des ajj/, ou dans un plan parallèle. Le flux de chaleur

à travers cet élément est proportionnel à d(o; par suite, on peut le représenter par :

A doi dt

A, étant indépendant de z, ne peut dépendre que de a et 6.

Il ne dépend pas de i, puisqu'on peut faire varier b sans changer le flux. Si on multiplie toutes les températures par une même constante, le flux est multiplié par cette constante. Donc A est proportionnel à a.

Par suite, le flux de chaleur peut s'écrire:

— Ka dM dt

K est une constante qu'on appelle coefficient de conductibilité.

11. Soit maintenant un élément d^ d'orientation quelconque, faisant un angle a avec le plan des xy. Considérons un plan parallèle au plan des xj/ et infiniment voisin de cet élément, et considérons le cylindre projetant l'élément dco sur ce plan {/?g. A). La projection de cet élément est :

d(ji' = dù> cos a.

do)

Le volume du cylindre et, par suite, son poids P sont des infiniment petits du troisième ordre (en regardant comme du premier ordre les dimensions linéaires de dw). La somme algébrique des flux de chaleur à travers la surface totale du cylindre doit être du troisième ordre. En effet, le corps recevant dans l'unité de temps une quantité de chaleur égale à Q,

l'élévation de température serait :

C étant la chaleur spécifique du corps.

Si Q était d'un ordre inférieur au troisième, cette élévation de température serait infinie. Q est donc du troisième ordre au moins et, par suite, négligeable en présence des infiniment petits du deuxième ordre.

Ecrivons donc que le tlux de chaleur à travers la surface totale est nul.

Le flux de chaleur à travers la surface latérale est nul ; il est donc le même pour les deux éléments r/w et do/.

Le flux de chaleur pour la section droite est :

— Ka cos a doy dt et c'est le même pour l'élément rfw.

12. Supposons maintenant que nous ayons pour la loi des températures :

V =i ax -\- by -\- cz -\- d

Un simple changement d'axes de coordonnées nous ramènera au cas précédent.

Considérons le plan P dont l'équation est :

ax -\- by -\- cz ::= o

Les angles de la normale avec les axes sont donnés par les formules :

cos a = p cos P = p cos Y = 5