CAS GÉNÉRAL
en posant :
R = v'aî -f J2 + c' D'où l'on tire :
V = R [a.- ces <x -\- y cos S + ^ cos y", -{■ d
On obtient facilement le flux à travers un élément rfw faisant un angle 9 avec le plan P. Prenons le plan P comme plan x'Oy' . On aura :
z' := X COS it-\- y cos ^ -\- z cos Y-
Et on a pour V l'expression :
V = R^' + d Le flux cherché est donc :
f/Q = — KR oos (p diù dt
Considérons en particulier des éléments parallèles aux trois plans de coordonnées. Ils font avec le plan P des angles respectivement égaux àx, S, y- Par suite, les flux de chaleur à travers ces éléments seront respectivement :
— KR cos a f/co (// = — Ka t/oj dt
— KR cos ^ diù dt = — Kb do> dt
— KR cos Y rfco dt ^= — Kc f/oj dt.
13. Cas général. — Supposons maintenant que la distribution des températures soit quelconque.
Soit V [x, y, z) la température en un point.
Soit dw un élément de surface; [x^yy^^z^), un point de cet élément ; nous allons chercher le flux de chaleur à travers
l'élément doi. Ce flux de chaleur ne dépend que de la température des points voisins de l'élément dio. Soit {x, y, z) un tel point. Posons :
La température au point (a?, y, z) aura pour expression :
Les quantités ^,7],!^, sont très petites. On peut donc négliger leurs carrés, et l'on a :
Appliquons les résultats établis dans le paragraphe précédent. Les flux de chaleur à travers des éléments perpendiculaires aux axes et passant par un point quelconque [x^y, z] seront respectivement :
— k • 4"^^ d^ dt.
dx
- K ^mMA d^ ai.
dy
-Y.'^lS^^^a.dt.
dz
Pour évaluer le flux de chaleur à travers un élément d'orientation quelconque, considérons un tétraèdre infiniment petit OABC ayant ses trois arêtes OA, OB, OC respectivement parallèles aux axes {flg. 5).
