CHAPITRE V

47. On appelle armille im f,I de très faible section, formant un circuit fermé. On se donne la distribution initiale de la température dans l'armille,et l'on demande quelle sera cette distribution quand on aura laissé larmille se refroidir librement pendant un temps quelconque.

L'équation du mouvement do la chaleur dans un fil est, comme on l'a vu :

a et k étant des constantes, et x représentant la longueur du fil comptée suivant son axe à partir d'une certaine origine. On a vu qu'en posant :

V = Ue-«' l'équation se réduit à :

Choisissons rutiité de longueur de manière que la longueur de l'armille soit Stt, et l'unité de temps de manière que k = l.

On aura alors :

^^ dt ~ dx^

U doit être une fonction périodique de x et de période 27t.

L'équation différentielle doit être satisfaite pour les valeurs positives de / ; et pour i = o on doit avoir :

f{x) étant une fonction donnée.

L'équation différentielle (2) admet comme intégrales particulières :

u = cosnx e~^'^'

u = sinnx e~'^'K En effet, on a pour ces deux cas :

du ,

-r- =z — n^u dt

dx'

11 résulte de là que :

U = V a„ Q,o^nx e-"-"'*- -\- V h^ ^mnx e~"^'

sera aussi une intégrale de l'équation (2).

La fonction f{x), qui a pour période 2ir, peut se développer par la série de Fourier. Soit :

Z' (ic) = V (rt„ cos nx -f i>n sin nx).

PROBLEME DE L ARMIT,T-E 85

Considérons alors :

\] = \ a„ cosnoce-"'^ -\- V b„ sinnxe-"''.

En posant:

u„ = a„ cosnx -j- b„ sinna; ; on a :

48. Nous allons vérifier <(ue U satisfait aux conditions de l'énoncé.

La série qui représente /" (a?) est, par hypothèse, convergente. Donc:

( a„ cosw^ -f- b„ s'mtix | < A,

k étant une constante, et ceci a lieu (|uel que soit oc ; en