TU
particulier, en faisant successivement a? = o et a; = -? on voit que :
Nous allons démontrer que, pour <>o, U est une fonction holomorphe de x et de t.
Nous avons vu que les séries :
V a„ cosnx,
V cc„ sinnx.
représentent des fonctions holomorphes de x, si on a : t étant un nombre positif.
86 PROBLÈME DE l'aRMILLE
Or, la série U se compose de deux autres satisfaisant évidemment à cette condition, car on a :
I «„e-'-''' I < Ae-«', I è„e-«-' I < Ae-"',
puisque l'on a :
Donc la série U est une fonction liolomorphe de x. Changeons ^ en < -j- A, on aura :
Supposons ^ > o, et prenons h assez petit pour que : t — h > o.
U est alors développable suivant les puissances croissantes de A. En effet, on a :
n2,t-\-h, __ g-«-< V tzJLAjf .
D'où:
u = SE --"•'' ^=|^-
Nous avons ainsi U mis sous la forme d'une série à double entrée que l'on doit d'a/^o/y/ sommer par rapporta p, et ensuite par rapport à n.
Je me propose de montrer que U est une fonction liolomorphe de 11, et pour cela de développer U suivant les puissances de 11. Cela revient à changer l'ordre des termes de la
PROBLÈME DE l'aRMILLK 87
série, en les ordonnant par rapport aux puissances de /« , c'est-à-dire à sommer la série d'abord par rap[)ort à n, et eyisuite par rapport à p.
Pour que l'on puisse ordonner la série suivant les puissances croissantes de A, il sufïit que la série soit absolument convergente. Or, le terme g'énéral est moindre en valeur absolue que celui de la série :
qui est convergente ; en effet, elle est égale à la série:
et l'on a par hypothèse :
Donc, d'après ce qui précède, U est une fonction holomorphe de a; et de ^ pour toutes les valeurs positives de t.
49. Nous allons démontrer maintenant que U satisfait à l'équation (2).
On a:
dx
2 = 2j — nhine-
Pour que ces séries représentent véritablement les dérivées de U, il faut qu'elles soient uniformément convergentes. Quel que soit t, nous pourrons prendre Z^, assez petit pour
que l'on ait :
On voit alors que le terme général de la série précédente est plus petit en valeur absolue que :
qui est le terme général d'une série convergente dont le
terme général ne dépend ni de x ni de t.
^ d\} cV'\} .. , -, ...
Donc — et -z—^ sont bien représentées par la série :
n'-Une-
On en conclut aisément que la fonction U satisfait à l'équation différentielle.
Reste à savoir si U se réduit à f [x] pour t = o, c'est-àdire si, quand / tend vers zéro, U tend vers f{x). Ceci n'est pas évident, puisque nous ne savons pas si U est holomorplie pour l z=z o.
Appliquons le théorème d'Abel à la série /"(a;), en prenant:
an =: e~"^', u„ = a„ cos,7ix -\- b„ sinnx.
Le reste de la série ainsi formée, qui est précisément la série U, sera tel que :
et comme on suppose i ^ o :
\Rn\ < Pu
Or, la série 21w„ étant convergente, on peut prendre n
assez grande pour que û„ qui, d'ailleurs, ne dépend pas de t, soit aussi petit qu'on veut. Donc la série U est uniformément convergente par rapport à / ; la somme de cette série est donc une fonction continue de t. Or, pour f = o, elle se réduità/" [x). Donc, quand t tend vers zéro, U tend vers f [x).
50. En général, pour ^ = o, la série ne sera fonction holomorphe ni de x ni de t. En effet, pour ^^ o, on peut se donner arbitrairement la fonction /" (.r) ; par conséquent, elle peut être discontinue, et U ne sera pas alors une fonction holomorphe de x.
Pour voir que U n'est pas. en général, fonction holomorphe de /, choisissons f[x] de façon que l'on ait:
f[x) = o pour o < a; < TU
f [x] ayant dos valeurs quelconques quand x est compris entre — tt et 0.
Pour ^ > o on ne pourra plus avoir une telle distribution, c'est-à-dire qu'il ne pourra pas arriver que U soit constamment nul dans un intervalle fini, car on a démontré que U était alors une fonction holomorphe de x, et on sait qu'une fonction holomorphe ne peut être nulle dans un intervalle fini, si petit qu'il soit, sans être identiquement nulle.
L'équation différentielle :
dt dx'^
nous donne, par différentiations successives:
d^\] d^\} dfi ~ dx^ dt
dt dx- dx*
D'où l'on tire :
dt'^ ~ dx" et, d'une façon générale :
cm dm
dV ~~ dx'"> '
Remplaçons dans ces équations t par o, et x par une valeur comprise entre o et tt. Les dérivées par rapport à X seront nulles, puisque f {x) reste constamment nulle dans cet intervalle ; il en résultera que les dérivées par rapport à t sont aussi nulles.
Si donc U était une fonction holomorphe de t pour t =: o, elle serait développable au voisinage de ^ = o, et on aurait:
"« + (f)/ + (^^).ri +
Tous les coefficients étant nuls, U serait identiquement nul, même pour des valeurs positives de t, et nous avons vu que ceci est impossible.
Donc, U n'est pas, en général, fonction holomorphe de t pour / = o.
