On aurait pu se poser le problème de la façon suivante

Quelle devait être la température à un instant t^,. pour que, au temps t^ > t^,, la distribution des températures soit faite suivant une loi donnée.

Mais un tel problème n'a pas, en général, de solution.

En effet, prenons t^ = o, on a ^^ < o. La solution, si elle

EXPRESSION DE V PAR UNK INTEGRALE DEFINIE 91 existait, serait donnée par la série :

qui n'est pas convergente en général dans ce cas.

52. Expression de U par une intégrale définie. — Nous avons trouvé :

/ '/• jz) cos nz

/ / iz) sinnz

Remplaçons dans la fonction U ces coefficients par leurs valeurs ; on aura :

en posant :

(3) 0 = 1 -f 2 ^ cos n {x — z) e-"^'

On reconnaît ici la fonction 0 de Jacobi, dont les propriétés sont connues.

53. Nous allons transformer la fonction U en nous servant des propriétés de la fonction 0. Les fonctions ©peuvent se mettre sous une infinité de formes différentes. On passe de l'une à l'autre en passant d'un système de périodes à un autre équivalent.

92 PROBLÈME DE i/aRMILLE

Par exemple, en permutant les périodes, on obtient des formules de transformation dont nous allons faire usage.

Adoptons les notations d'Halphen.

Soient : u la variable indépendante, 2to et ^w' les périodes. On pose :

r= 1 -|- 2 V Cf' COS 2w TTU

Pour passer de cette fonction à la fonction 0, qui entre dans la formule (3), il suffit de poser :

q = e~', X — z = 'iizv

Halphen démontre l'identité suivante {*) :

^■Av\x)= i/'.e-'--5, '"

Posons maintenant :

On a alors :

(') Fondions ellipliques, lomo 1. page 204.

EXPRESSION DE U PAR UNE INTÉCtRALE DEFINIE 93 Pour revenir à la fonction t), on a :

D'où:

Donc:

iTTU-* n-m i-r.v

Gomme on a :

Ti"^ . ., {x — z — %mz)'

On a donc:

,, /— w-i (x — z — inm-

On voit donc que la fonction 0 qui figure dans U peut se mettre sous la forme de deux séries différentes (3) et (4j.

La première converge rapidement quand t est très grand, et la seconde quand t est très petit.

54. Nous allons vérifier directement que la fonction U, exprimée au moyen de la fonction 0 prise sous la forme (4), satisfait aux conditions du problème.

Pour voir que U satisfait à l'équation différentielle (2), il suffit de voir que chacun des termes de 0 satisfait à cette équation.

94 PROBLÈME DE l'aRMILLE

On voit facilement qu'il suffît de vérifier que la fonction

satisfait à l'équation (2) En effet, on a:

Donc

fit, 4 j £? i ^2 ^1

dû- 2^ ^ ^' 4f2«

du t '■'• X a;2

(ia; ~ ~ 2 1 e ^'

dt dx^

et l'on a, par suite:

dt dx^

Pour démontrer ce fait rigoureusement, il faudrait établir que la convergence des séries est uniforme et faire un raisonnement analogue à celui que nous avons fait pour la première forme de la fonction U.

Remarquons ensuite que 6, et par suite U, sont des fonctions périodiques de x et de période 27r.

Reste à voir maintenant si, pour i = o, U tend vers f{x).

On a:

Lorsque t tend vers o, les exponentielles contenues dans 0