KU

cq = y

On a a

ilors :

Iq clz

et

= Sg +

2^8ge-

ces g

ou

bien :

\/ll.

Lll:

Si on suppose que l croisse indéfiniment, Sg tendra vers zéro, et, comme on doit donner à g toutes les valeurs multiples de 8g, on voit qu'à la limite la somme qui figure dans la première des expressions de 08g devient une intégrale, et l'on a, dans ces conditions :

I ZTT

INTEGRALE DE FOURIER 99

et on a:

lim QZq = - / e -'"/'■' cos q[x — z) dq.

Dans les mêmes conditions, la seconde forme de bo^ devient :

Tels sont les résultats obtenus quand la longueur de l'armille croît indéfiniment ; nous allons montrer que ces formules donnent bien la solution du problème dans le cas du fil indéiini.

La première solution a été donnée par Fourier, la seconde par Laplace.

57. En identifiant les deux valeurs obtenues pour lim t)5j, nous obtenons :

. 2 / e-''"'-^ cos q{x — z) dq = \/ - e *''' ou, comme la fonction sous le signe / est une fonction paire:

/ g- ''■'/-' cos q{x — z) dq = i/ — e *''' •

Nous allons vérifier directement ce résultat. On sait que l'on a:

V'tt.

Cette égalité est encore vraie si, au lieu d'intégrer le long de ox, on intègre le long d'une parallèle à cet axe.

Posons donc, dans la dernière égalité :

a et p étant des quantités réelles.

On aura :

re-<^-<i-e-^=^'ii^' eP- ^ dq = \'t..

Egalons les parties réelles :

g-*''?- cos27.pq eP' (X dq = Vtt.

-co

D'où:

e-«-'/"^ COS "-lySiq . dq =\/t, ?ll '

- zc y.

Posons :

a = s/kT

'2\Jkl

on a

/ e-^"/'' COS g [x — ,?) dq = i/ -j-

58. Solution de Fourier. — Cette solution repose sur une transformation de la série de Fourier.

On a vu qu'étant donnée une fonction f{œ) définie entre — 71 et 71 par la série :

on peut, par un changement d'unités, la représenter entre