SOLUTION DE FOURIER

On trouve ainsi :

f{z) cos j{x — z) dz f\x) = y^ ( a„ cos y ^- 4- i„ sin ^ x\

ou bien

avec :

ni

l fiz] n-

cos — z dz.

K= ^sin'-^zdz.

Posons, comme nous l'avons déjà t'ait :

et:

On aura :

f(x) = V [:i\(/': cosqx -f- "Mî) sing-x] 8^ et Ton a pour :i (</') et •]/ (^j^ i les expressions : ^^ /7(^) ce

I r{2) si

, , , / ,^, cos^^ .

, , , , , , - , sm 02- -

On conçoit donc que, si l croît, on aura à la limite la représentation de la fonction f[x) entre — oo ei -\- ce ^ sous la forme :

f{x) = / [cp(<7) cosqx 4" <f((/) sint/a;] dq, avec :

,(î)=^J^.-)!^rf.,

— oo

— oc

Nous allons voir dans quelles conditions on peut être assuré de la possibilité d'une telle représentation.

59. Intégrale de Fourier. — Supposons qu'une fonction f[x) satisfasse à la condition de Dirichlet, c'est-à-dire que l'on ait :

/"^ et /"g étant deux fonctions constamment finies ne croissant jamais ; de plus, nous supposerons que, quand x tend vers ±00 , f^ei f^ tendent vers une même limite finie et déterminée, de telle sorte que :

\mif[x) = o.

Considérons les intégrales cp {q) et ^j/ [q), nous allons montrer qu'elles sont finies et déterminées . Prenons, par exemple :

/ /"{z) sin qzdz.

— oo

Divisons le champ d'intégration en deux autres :

et occupons-nous seulement de l'intégrale :

/ f{z) sm qz dz

Nous voulons savoir si cette intégrale a un sens, c'est-àdire si :

/ f\z) sin qz dz

tend vers une limite déterminée quand l croît indéfiniment.

Pour cela, supposons d'abord que f[z) soit positive, ne croisse jamais et tende vers zéro, quand z croît indéfiniment.

Décomposons l'intervalle d'intégration en intervalles partiels :

f[z) sin qz sera alternativement positive et négative dans chacun de ces intervalles, et l'on voit, comme précédemment pour la série de Fourier, que les intégrales vont en décroissant. De plus, le terme général tend vers zéro. Ce terme est, en efi'et :

f{z) s'mqzdz.

Il tend vers zéro, car le champ d'intégration reste fini, et la fonction f{z) tend vers zéro.

Si nous revenons au cas général où f[z) satisfait à la condition de Dirichlet, on a :

lim /*, = lim f.2 = cp.

D'où :

(j-^ — çp) et (/"j — <f) sont des fonctions positives décroissantes et tendant vers zéro.

Les résultats précédents sont applicables à ces deux fonctions, et par suite à la fonction f{œ) qui est leur différence. Les mêmes considérations s'appliqueraient à l'intégrale :

I f [z] sin qz dz

et aussi à l'intégrale :

/ f {z) cos qz dz.

tJ —00