AUTRE DEMONSTRATION

On démontrerait comme précédemment que la somme algébrique des flux de chaleur à travers les quatre faces est nulle aux infiniment petits du troisième ordre près.

Soient a, p, y les cosinus directeurs de la normale à l'élément ABC, dont la surface est du). Les aires des trois autres faces seront respectivement :

X diù, ^ dw.

Appelons rfQ le tlux de chaleur à travers l'élément c/w. On

aura :

Pour préciser le signe du flux de chaleur, nous choisirons sur la normale à l'élément dui un sens positif, et nous donnerons au flux le signe -\- ou le signe — , suivant que le mouvement de la chaleur aura lieu dans le sens positif ou dans le sens négatif. On voit facilement avec ces conventions que le flux de chaleur est :

dV dq= — K-y^diod( dn

dV

— étant la dérivée suivant la normale, prise dans un sens

convenable.

14. Autre démonstration. — Le raisonnement de Fourier que nous venons de faire peut être remplacé par un calcul plus court

Soit un élément rfw; considérons deux points m^, m^ de part et d'autre de l'élément dio. Soient :

^0' 2^05 ^0' les coordonnées de m,,; ^0 + ^' .Vo "h '^h ^0 + ^' celles de m^ ; «t : Vq, V,, les températures.

La quantité de chaleur cédée par m^ à ttif est :

<f{P){Vo-VOc/^.

Or, on a

De plus, on peut remplacer œ^, y^, z^^ dans les dérivées partielles par les coordonnées ce, y, z du point G, centre de ^ gravité de g?co [fig. 6).

FiG. 6. On a alors :

v.-v. = ^£ + .f + cf

•et la quantité de chaleur cédée par m^ à m, est, par suite; Le flux total à travers c?a) est donc :

Posons