Considérons d'une façon générale

f f [z) cos q [x — z) dz

et supposons d'abord f{z) positive, décroissante et tendant vers zéro; quand x croît indéfiniment, cos q[x — z) s'annule pour des valeurs de z en progression arithmétique :

Supposons que nous remplacions l'intégrale considérée

INTEGRALE DE FOURIER lOo

par :

/ f [z) cos q[x — z) clz

et cherchons une limite de l'erreur commise. La valeur de cette erreur est :

1 f {z) cos 5' [x — z) clz

Supposons :

On a :

r=° ri r i

Nous avons une série alternée. Donc, la valeur absolue du premier terme est une limite supérieure de la valeur absolue de la série ; et la valeur absolue de la différence des deux premiers termes en est une limite inférieure.

Supposons, pour fixer les idées, le premier terme positif; on a alors :

Retranchons partout / , il vient :

Retranchons du premier membre la quantité / qui

est positive, on aura :

Considérons maintenant l'intéo^rale :

h-yj f{2)cosq{z — x) dz.

■TT

Le champ d'intégration est inférieur à -? et la fonction sous le signe / est inférieure à f [l). On a donc :

f r[z)cosq[z-x dz <lr[i) ^ i 1

De même, on a :

/ f (z) cos q{z — x) d

On a donc :

/ /■ [z] cos q {x — z) dz

Supposons maintenant que f{z) satisfasse à la condition de Dirichlet et tende vers zéro quand z croît indéfiniment.

En désignant par cp la limite commune de /*, et /"j, on prendra comme précédemment :

Si nous considérons l'intégrale :

/ f [z] cos q{x — z] dz, elle s'écrit:

/ (A — ?) cos ^ (a? — z) ofz — / (/o — s) cos q [x — z) dz.

On en conclut aisément :

I rf[z) cos q [x - .-) dz <- [f, (0 + A (0 - 2cpl.

On trouverait de même une limite supérieure de l'iiiiégrale :

/ / [z] cos q [x — z) dz.