Soit maintenant

F ((j) = <p (^) cos qx -\- <i^ (q) sinqx

Çf [z^ dz = 1 — '^ — '— (cos^xr cos^a; -1- sing^- 'èwxqx)

ou, en posant:

H = tl^ cos q Lv - z)

TU

F (q) =-. fndz.

Nous avons été conduits à l'équation :

r {X) =fdq r/r^)cos^(^---) cl.

OU bien :

r{x)=fF{q)dq.

C'est cette égalité qu'il s'ag-it maintenant de démontrer.

Les intégrales -y {q) et J/ {q) sont bien déterminées, comme on l'a vu ; par suite, la fonction F{q) l'est également.

En réalité, nous voulons démontrer que f[x) est la limite de l'intégrale double :

Ud2

ou:

M = '-^ cos q {x — z)

lorsque d'abord l et ensuite fi croissent indéfiniment.

Considérons cette intégrale double. On peut y intervertir l'ordre des intégrations, puisque les limites sont finies : ce qui nous donnera :

(1) fdz fïldq

Or:

(2) rLg = ^^^'"^^^-<

J Q TT X — z

Admettons pour le moment que l'intégrale :

/ dq / Wdz

est la limite de l'intégrale:

j dq \ Wdz

quand l croît indélinimenl.

INTEGRALE DE FOURIER 109

En portant dans l'intégrale (1) la valeur de :

fihfq

tirée de l'équation (2), et faisant ensuite croître l indéliniment, on voit que l'intégrale double primitive se réduit à :

/i+oo f{z) sinp I

(3) i^-f^-^^^^ ^Kh

et dans cette intégrale nous devons faire croître [i indéfiniment.

On voit que nous retombons sur l'intégrale de Dirichlet.

Divisons le champ d'intégration en deux :

Dans la première intégrale faisons :

z = X — y et dans la seconde :

L'intégrale devient :

Çfjoo -\- y) sin^y Cf [x — y) sin ^

Ce qui peut s'écrire :

(4) lf{^-\- y) + A ('^ — y) sin 6y ^^y

Or, on sait que, si a est une quantité positive finie ou infinie :

, , sin Sw ,

a pour limite, quand j5 croît indéfiniment

En appliquant ce résultat à l'intégrale précédente (4), on a :

cos q [x — z) dz = -^ ■ ^ ■

Et, dans le cas où f [oc) est continue :

[x — z) dz = f (x).

^cosry