Toutefois, il reste à montrer que l'intégrale
dq / Wdz
est égale à la limite de :
Sf'S-
Wdz
quand il croît indéfiniment, ce que nous avons provisoirement admis.
Ceci ne présenterait pas de difficulté, si la limite inférieure, âu lieu d'être zéro, était une quantité positive a.
Considérons, en effet, la différence :
J) fdgj'lUh—JdqJndz=Jdqj'Udz ^JdqJ^Ulz
Je dis qu'elle tend vers 0 quand l croît indéfiniment. On a vu que :
I fJiz) cosq [x - z) dz I < ^ [A (0 4- A (0 - 2'f ]
Soit
-(0-^ WH-/2(0-2?.
On sait que oj tend vers 0, quand l croît indéfiniment. On conclut de l'inégalité précédente :
fh
et, comme l'on a
q > et
il en résulte :
fm.
On a donc :
/ lldz
On aura un résultat analogue pour l'intégrale :
lldz
Donc, comme co tend vers zéro, on voit que la différence (5) tend vers zéro quand l augmente indéfiniment.
On a donc :
/ dq / )\dz = lim (pour l = oc) dq Edz
= lim / dz / Hof^ = dz Rdq.
Nous sommes donc amenés à considérer l'intégrale :
dz / Rdq
et, pour démontrer la formule de Fourier, il suffit d'établir que cette intégrale tend vers f{oc), quand a tend vers 0 et p vers l'inlini.
En effectuant la première intégration on obtient :
f{z) sinp(a; — z) j f{z) sin a {x — z)
Nous avons déjà trouvé la valeur de la première intégrale, et tout revient à démontrer que la seconde tend vers zéro en même temps que a.
En suivant la même marche que précédemment, on transforme la seconde intégrale en la suivante :
Or:
satisfait à la condition de Dirichlet. On peut donc écrire
INTEORALE DK FOURU-^R 113
Ci, et z>-2 ^''^'^"t ^Il'ux l'unctions positives décroissantes et tendant vers zéro.
Montrons, par exemple, (pie :
, . sinav ,
te
nd
vers zéro
avec a.
On
a, en effet :
sina
et
en
posant :
, ^ l , , sinay ,
'-'y < 'ii ly) — (^y
ry = H, la dernière intégrale devient :
/ /u\ sinif - '^ 0
Quand a tend vers zéro, il en est de même de cp,. Donc l'intégrale :
/ , , sinay ,
, / 'ii.(y) "j^^^y
tend vers zéro. Le raisonnement serait le même pour les autres intégrales analogues que l'on a à envisager. Par conséquent, l'intégrale :
Cfiz) . xix — 2) dz I -^— sm — ■
tend vers zéro, en même temps que y.. (.. Q. F. D.
PROPAGATION DE LA CHALECn. 8
