Nous allons étudier les deux intégrales
/ Of [q) cos qx dq ^ o'
/ a. iq) sin qx dq ^ o'
considérées comme fonctions de x.
Si l'on avait :
? (?) = o lorsque l'on a :
la première intégrale, par exemple, se réduirait à :
1 tp (q) cos qx dx
et l'on voit que c'est une fonction liolomorphe de x. Pour étendre ce résultat, nous allons d'abord étudier l'in-
116 PROPRIÉTÉS DE l'iNTÉGRALE DE FOURIER tégrale :
prise le long d'une courbe quelconque de longueur finie dans le plan de la variable q.
Nous allons démontrer que F [x) est une fonction bolomorplie de x.
Soit L la longueur du chemin d'intégration, et soit p le rayon d'un cercle ayant pour centre l'origine et comprenant la courbe à son intérieur.
Nous supposons cp(g') quelconque, mais finie, c'est-à-dire que l'on a:
On a
On en déduit :
en posant:
^n = \^{qy^dq.
On voit immédiatement que :
M Lu"
Donc les termes de la série ¥[x) ont des modules inférieurs aux termes de la série qui représente le développement de :
MLeP^,
PROPRIETES DE L INTEGRALE DE FOURIER H7 Donc la fonction F (x) est holomorphe dans tout le plan. 65. Considérons, on second lieu, Tintéo-rale :
F^ [x) = / cp (y) e-'/^ dq
dans laquelle nous supposerons or > o.
Je dis que cette fonction F, [x) sera holonriorphe dans une région comprenant la partie positive de l'axe des quantités réelles.
Remplaçons x par x -\- h.
On a:
Q-q{X+h) - Q-tjx
Donc:
en posant;
A„ = / cp {q] e-'i^ ^—P^ dq.
Il s'agit de démontrer que la série SA;,^'' est convergente si h est assez petit.
Comme on a supposé x positif, on peut trouver un nombre positif y tel que :
Or, on a:
d'où l'on déduit, tous les termes de cette série étant positifs :
118 PROPRIETES DE L INTEGRALE DE FOURIER On a donc :
ou bien :
On voit donc que les coefficients des puissances de h dans le développement de Y ^ [x -\- h) ont des modules inférieurs aux termes de la série :
Donc la série F< {x -\- h) est convergente si l'on a : \h\<y.
66. Nous allons appliquer les résultats précédents à l'étude de l'intée-rale :
en supposant x positif et en supposant aussi que cp [q] s'annule lorsque q croît indéfiniment, c'est-à-dire que l'on a, lorsque q est suffisamment grand :
La fonction <:^{q) pourra avoir à distance finie un certain nombre de singularités. Soit L un contour passant par l'origine, situé tout entier dans le premier quadrant et entourant tous les points singuliers situés dans ce quadrant.
PROPRIETES DE L INTEGRALE DE FOURIER 119
Soit C un cercle ayant pour centre l'urigine et contenant le contour L à son intérieur.
Prenons l'intégrale :
Ce''/'' (^{q)dq
le long du contour X, C, Y, L.
FiG. n.
Cette intégrale est nulle, car le contour considéré ne contient aucun point singulier à son intérieur. Donc on a :
Jx Jq J y Jh
Quand on fait croître indéfiniment le rayon du cercle C, / tend vers zéro.
Dans l'intégrale / faisons :
q=zip
120 PROPRŒTES DE L INTEGRALE DE FOURIER on aura :
fz- fr^ {[p) e- P-^- ù/à = — i (\[i^p) e-^^ (B
et, d'après ce que l'on a vu plus haut, cette intégrale est une fonction holomorplie de x.
x est égale à la somme des résidus fà un facteur près)
correspondant aux pôles contenus dans le contour L.
Donc / est une fonction holomorplie de x.
Il résulte de cette analyse que :
Ç = fcp [q). énx clq
est une fonction holomorplie de x^ quand x est positif.
La partie réelle et la partie imaginaire de cette fonction sont donc des fonctions holomorphes ; ces deux fonctions sont .
I ? {9) cos gxdq f cp [q) shl qxdq.
Quand on change x en — a?, ces fonctions conservent les mêmes valeurs absolues.
Ce sont donc encore des fonctions liolomorphes de x.
C'est donc seulement pour a; = o qu'elles cessent d'être holomorphes.
67. On peut donner de ce fait une autre démonstration qui a l'avantage d'être applicable à la série de Fourier.
PROPRIÉTÉS DE l'iXTÉORALE DE FOURIICR l'2I Considérons la série :
^ '^ (n) e'où l'on a :
pour des valeurs suffisamment grandes de n. On sait que cette série représente une funcUon holomorphe de œ, sauf pour :
X = ik-.
Il existe des quantités a et M telles que :
I A„ I < MaP
puisque o{x) est convergente; et. dans ces conditions, elle sera convergente pour :
En supposant q entier tel que :
g > a on pourra écrire :
V 3, [n) e'"^ = cp (o) + ... -I- ^ (^ — 1) e^'}-*'''^
Les q premiers termes du développement sont toujours des fonctions holomorphes de x: il suffit donc d'établir le théorème pour :
y cp [n] e'"-^.
122 PROPRIÉTÉS DE l'iNTÉGRALE DE FOURIER
Ona:
/ e~"" dz = - J c^ n
et en différentiant (p — 1) fois par rapport à n: Ce-"-- zf -^ dz =
et:
= / e-"- >]; [z] dz en posant :
et on a évidemment :
Cherchons maintenant :
V cp (n) e'"^.
Cette quantité est égale à :
f<\>{z)dz [e? (- 2 + '^)-|- 6(9 +<)(-«+'■*) 4- ...]
OU bien :
