Pour montrer directement que celte fonction est holo

PROPRIETES DE l'iNTÉGRALE DE FOURIER 123

morphe par rapport à :c, nous considérerons d'une façon plus générale l'intégrale :

a» {x) = Cf (z, x) dz

F étant une fonction holomorphe par rapport à x. On aura:

[x ^h) = Cf [z, x + h) dz

et:

F (x- + A) = 2 knh"

F étant holomorphe en x, cette série sera convergente pour :

Soit M le module maximum de F à l'intérieur du cercle de rayon p.

Nous allons démontrer que si :

fUdz •^ 0

a une valeur finie, '!> est une fonction holomorphe de x. En effet, on a :

et l'on a :

<^[xJr^)= y^^nh^ en posant :

B„ = fk„dz ^ 0

124 PROPRIÉTÉS DE l'iNTÉGRALE DE FOURIER

Donc :

I B„ |< -i fïldz

et les termes de la série ^ {x -{- li) ont leurs modules inférieurs à ceux de la série :

qui est évidemment convergente si :

Udz

a une valeur finie.