Revenons à l'intégrale de Fourier et considérons
/ ç. iq) cos qx dq ^ 0
où l'on suppose que, pour q suffisamment grand, o [q] est développable suivant les puissances de - •
D'après ce qu'on vient de voir, lintégrale sera une fonction continue de x, sauf pour x = o.
Que se passera-t-il pour x = o^ Xous allons démontrer que si :
l'intégrale est une fonction continue, même pour x = o.
126 PROPRIÉTÉS DE l'iNTÉGRALE DE FOURIER
Pour cela, nous allons faire voir que Ton peut prendre une quantité h assez petite pour que :
/ ? (7) [cos q {x -}- h) — cos qx] dq On peut décomposer l'intégrale en deux autres :
La première intégrale est une fonction holomorphe dans tout le plan.
L'élément de la seconde intégrale est inférieur à :
q-dq
Donc on a
Jp J 5-^ P
et nous pourrons prendre p assez grand pour que l'on ait
Cela fait, on pourra prendre h assez petit pour que la
première intégrale soit aussi inférieure à -•
Supposons maintenant que la série contienne un terme
en
fe) = t' + ~i +
PROPRIÉTÉS DE l'iNTÉGRALE DE FOURIER 127 On a :
f^^ [q] sinqxdg — / ' ' ^'" '^"^ '^ + / sin^^ f-f + •••1 dg
La seconde intégrale du second membre est une fonction continue, quel que soit x.
La première est égale à :
r A^ pour X > o
ou:
A^ pour a; < o
et elle est discontinue pour x = o.
On verrait de même que la fonction :
cos gx j , dg
devient infinie pour x =. o.
La condition nécessaire et suffisante pour que la dérivée soit également continue pour toute valeur de x est que le
développement de o[q) commence par un terme en — • ' ' g^
Si l'on avait :
? (î) = ^ cos g-a -{- ^ sin g^ -f- À' cos î»' + P-' sin g-i' -\- ... il ne pourrait y avoir discontinuité que pour:
Xz=:dco, x = ±^' ...
Tous ces théorèmes sont analogues à ceux que nous avons rencontrés dans l'étude de la série de Fourier.
12S PROPRIETES DE L INTEGRALE DE FOURIER
71. Nous avons vu que f[x) peut se représenter par rintégrale de Fourier :
f{x) = / ['f (7) cosqœ -f- 'l' (7) sin^,r] dq
dans laquelle:
/+ 00 /'f^-) sin(72- , — co
Or, on a, en remplaçant cosqx par des exponentielles :
/ ? ('Z) co^qxdq = -J ^ [q] e''i^dq + Z) r^ i'i) Q- '''■'' dq
En changeant dans la seconde intégrale x en — a?, elle devient :
et l'on voit alors que :
/ '^{q) COS qxdq = - / cp (r/) e"/-^ dq
On verra de même que :
/ •]/((/) HÏnqxdq =^ :jr- '^{q) ^"'^ dq.
Si donc on pose :
PROPRIETES DE L INTEGRALE DE FOURIER 129 on aura :
f{x) =Jb [q) e'9-f dq
avec :
^ (?) = / -^ — [cos qz — i sin qz] dz
