La méthode que nous avons employée pour intégrer

l'équation :

dV dH] dt dx'^

peut être étendue à d'autres équations linéaires, telles que : l'équation des cordes vibrantes :

cr-'u cz-u

et l'équation des télégraphistes :

dt' "^ " dt ~" dx^

que l'on peut transformer en posant :

V = Ue-'

ÉQUATION DU MOUVEMENT DE LA GHALErR 13]

on obtient alors :

On peut toujours considérer les équations ci-dessus sous ces formes simples, en supposant qu'on ait fait disparaître les coefficients numériques par un changement d'unités.

Dans les trois problèmes, nous nous donnons la valeur do U en fonction de x pour l = o

Cette condition suflira pour la première équation, mais il n'en sera pas de même pour les deux autres ; pour ces dernières, il faudra se donner aussi la valeur de ~ en fonction de X pour / = o.

La raison de cette différence est que les deux dernières équations sont du second ordre par rapport à t ; nous reviendrons, d'ailleurs, sur ce point dans la suite.

Nous allons appliquer une méthode uniforme pour l'intégration des trois équations.

dl dx-

Xous allons chercher à satisfaire à cette équation par une fonction de la forme :

/oc o{c/, i) e'f^ dq.

On aura, dans ces conditions :

d\^ r do . ,

132 EQUATIONS ANALOGUES A CELLES DE LA CHALEUR et:

-— — q-o e'9-^ dq

^" 'J —ri-,

dx^ u satisfera à l'équation proposée, si Ton a:

do

dt

Ti

c'est-à-dire:

a. étant une certaine fonction de ^.

On obtient alors :

U = / ^e-'r^ e"!'' dq.

11 faut que, pour i = o, U se réduise à la valeur initiale donnée. On peut supposer cette valeur initiale mise sous forme d'intégrale de Fourier :

To {q) e''!"" dq.

Donc U satisfera à toutes les conditions du problème si l'on a :

\] = Ç^ yq) e-'r' e'"-^ dq.