EQUATION DES CORDES VIBRANTES

On aura :

U / rf2..

et:

^ = / ~ '^"^ '""" ^^• La fonction U satisfera à l'équation différenlielle, si l'on a :

L'intégrale de cette équation peut se mettre sous deux formes différentes :

-p = X cos ql -f- fj sin qt qui donne:

U = / (at cos (7^ + j3 sin ql) e'v^ dq ou bien:

qui nous donne:

u = / (i.e'i^^ + ') dq -f / rie'vfa^-'i (/^.

De cette manière, on voit que l'intégrale est de la forme :

Il s'agit maintenant de déterminer U par les conditions initiales.

Prenons la première forme trouvée pour U. Supposons

que les valeurs initiales de U, -7- pour t = o, soient déve-

dt ^

134 ÉQUATIONS ANALOGUP^S A CELLES DE LA CHALEUR loppées en intég^rales de Foiirier :

En faisant t = o dans les expressions de U et de -7-? ot en

' dt

identifiant avec les valeurs précédentes, on trouve :

La solution du problème est donc :

6 [q) cos qt ■\- ^-^ sin qt e''?-^ dq.

75. Équation des télégraphistes. — Nous avons vu que cette équation :

^4-9 — = — dt ~^ " dt dx'^

peut se ramener par le changement :

V = Ue-'

à la forme :

'dt^ ~ dx'^' ^

Comme précédemment, nous nous donnons les conditions

EQUATION DES TELEGRAPHISTES 135

initiales sous forme d'intégrales de Fourier :

^ -20 /cll]\ r"^

Cherchons encore à satisfaire à l'équation par une fonction de la forme :

On a, comme précédemment :

cP\5 Cd-'^ . ,

Il vient, en identifiant :

D'où :

o = Y cost \fq- — 1 + B sin l sjq"^ — 1

Y et S étant des fonctions de q qu'il s'agit de déterminer. Pour que U se réduise à Uq pour l = o, il faut que :

Considérons -r-; dt '

dV

dt

-f[— Y \^T — i s"^ f S'^â —1 + 8 S^^- — 1 cos / VV" — 1] e''?-^ dq.

136 ÉQUATIONS ANALOGUES A CELLES DE LA CHALEUR Pour que ceci se réduise à [ — j il faut que :

Ainsi donc:

U = / [e cos ^ v/?-^^^l -t- '' ^"4^~- ] «'"^ dg

— oo

est la solution du problème.

En remplaçant les cosinus et sinus par des exponentielles, on a :

en posant :

2 2i ^q2 I Dans l'expression de la fonction U figurent les fonctions :

cos t slq"^ — 1 et:

sin t Jq2 I

\lq^ — 1

On peut se demander si ce sont des fonctions uniformes de q. Cela a lieu, en effet, car elles ne changent pas si on change le signe du radical.

76. Discussion. — Nous allons nous donner comme premier exemple les conditions initiales suivantes :

f [x) et /", [x] seront nulles pour :

X <^ b ou a? > a

en supposant :

Dans l'intervalle de i à a, nous supposerons que /"(a;) et f^[x) sont égales, par exemple, à des polynômes entiers en x. On a dans ces conditions :

r,i^)ez!Z a..

ZTT

Cherchons l'intégrale :

/ zPe-''>- dz.

Considérons pour cela :

/ e-''^'" dz =

iq

Dilîérentions p fois par rapport à q.

On obtient:

P ( -j et P, f - j étant des polynômes en — Par conséquent, ô qui est une somme de termes semblables

à celui que nous venons de considérer, aura la même forme ; et il en sera de même pour 6,.

77. En se reportant à la définition des fonctions a et ^ trouvées plus haut, on aura :

a', a", p', p" étant développables suivant les puissances de - •

On peut toujours écrire:

On a, d'ailleurs :

D'autre part:

et pour q suffisamment grand, le second membre est déve-

loppable suivant les puissances de -; il en sera donc de

même de '\ (^, t) et de ^j/j ["l-, i).

L'intégrale U peut se décomposer en quatre autres de la façon suivante :

U = ra''|/e"/(-^-« + ')f/</ -f- foL"'\'e'''^^-'' + '^ dq + ff^t e''/(-^--«-') dq + rp"|, é'i^^-^-'^dq.

Chacune de ces intégrales est du type de celles que nous avons examinées à la fin du chapitre précédent.

U est donc une l'onction holomorphe de rc et de /, sauf pour les valeurs suivantes de x :

b — t, a — t, b -{- (, a -\- f. Nous allons démontrer que pour :

X > a -}- t ou X <. b — t on a :

Soit par exemple :

Pour le point considéré, au temps ^ = o on avait :

Donc on avait par hypothèse :

et ceci avait également lieu pour les points infiniment voisins. On peut donc différentier deux fois par rapport kx, ce qui donne :

dx-^""

Or, on a

d'où :

dt, dx-

dt^ ~ dx^'^

dt^ ~ dt. dx- "^ dl

Donc, d'après ce que Ton vient de voir, les dérivées -j^ ?

-jj^ sont nulles pour / = o ; et on prouvera de même que les

dérivées d'ordre supérieur s'annulent également pour t ^ o.

Par conséquent, la fonction U, qui est liolomorphe et qui s'annule avec toutes ses dérivées pour f = o, est identiquement nulle.

On voit ainsi que les quatre discontinuités se propagent avec une vitesse constante.

On peut remarquer que les choses se passent tout autrement que dans le cas de la propagation de la chaleur. On a vu, en effet, que dans ce cas la fonction U est holomorphe en o) pour toutes les valeurs positives de /, et qu'elle cesse de l'être pour / = o.

78. Nous avons vu que la solution de l'équation des cordes vibrantes peut se mettre sous la forme :

U = F (*• -f 0 + Fi (^ — i)

D'où :

rl\]

Donnons-nous les conditions initiales de la façon suivante: Pour:

oT ^ a ou X < b et < =: o on aura :

Dans ces conditions, nous allons montrer que pour : X '^ a -\- t ou X <i b — t

DISCUSSION 1 il

on a :

En effcl, on a pour :

^=10 et X y a

En différentiant la première équation, on obtient:

F'H4-FU^)=o

On a donc :

F'(a;) = o F|(^) = o et, par suite :

„ , , , ,' pour X > a

On verra de même <|ue Ton a

On en conclut (pie :

pour :

ou :

Supposons

142 ÉQUATIONS ANALOGUES A CELLES DE LA CHALEUR et considérons une valeur de x telle que :

Dans

ces

conditions,

on aura :

Ainsi,

dès

1 que l'on a

U cesse d'être constante dans deux intervalles :

de {b -f- t) à {a -f- t)

et:

de [b — t) à [a — t)

79. Revenons au problème des télégraphistes, en faisant une hypothèse particulière.

Nous supposons qu'à l'instant initial on a, pour toutes les valeurs de x :

f[x)= o d'où :

0 = o et:

n {^) = o •sauf pour :

et qu'en outre on a pour ces valeurs :

On en déduit:

71 e-^'i' , :: — fh

J| re"'^=T sin cji

^ ~ '2tl—iq]~^ qt

Nous supposerons, d'ailleurs, s infininiont petit, de telle sorte que Ton aura :

Cela étant, on aura :

Ce qui peut s'écrire :

^ , dq - , dq.

— X —se

Les fonctions placées sous le signe / dans cliacuno de ces

deux intégrales ne sont pas uniformes.

Considérons la première de ces intégrales. Pour éviter les deux points singuliers :

nous allons intégrer le long du chemin : ABCDE.

Pour évaluer celte intégrale, nous supposerons d'abord a; -{- ^ > 0, et nous intégrerons le long du contour farmé :

ABCDEMA

EMA étant une demi-circonférence de rayon très grand et ayant pour centre l'origine [fig. 18j.

FiG. 18.

Le contour en question ne comprend à son intérieur aucun point singulier; donc l'intégrale totale est nulle. L'intégrale peut s'écrire :

çiq (X + t)

2i \Jq^

avec:

D'après l'hypothèse faite sur [x -}- t)i on voit que l'intégrale I prise le long de la demi-circonférence tend vers zéro, quand le rayon croît indéfiniment. Donc l'intégrale prise le long de ABCDE est nulle.