Supposons maintenant
Nous considérons encore le chemin ABCDE, et nous y adjoignons la demi-circonférence EM'A {fig. 19;.
L'intégrale le long de cette demi-circonférence sera nulle
comme précédemment, mais l'intéf^rale le long- du contour total sera égale à l'intégrale prise le long du contour :
OABCDEO [fi(j. 20).
On a
Fi.;. 19.
Fu.. -20.
Posons alors
q = smï».
PROl'AilATIOX UV. I. \ r.llALElB.
la
146 ÉQUATIONS ANALOGUES A CELLES DE LA CHALEUR L'intégrale I deviendra : ■
car on voit aisément que, lorsque q suit le contour désigné, <p varie de 0 à %z.
Développons l'exponentielle en série :
. . „ , , „ \r\ [t cos CD 4- i^ sin cp)^ ^ p!
Or, on a:
/ coscp -[- ï^ sincp = — - — e'f + — ~ e-'^
On a donc :
• ■ , x^ [(«-fa;) e'? + (^ — a?) e-'?]^
L'intégrale considérée se réduit, par suite, à :
car on a :
i2Tr
lorsque ;
L'intégrale cherchée a donc pour valeur :
81. On reconnaît le développement de la l'onction de Bessel :
I r= TT. Jo {\/x'^ — t-)
Donc, en résumé, si on a :
