NOMBRE DES FONCTIONS ARBITRAIRES

Lela résulte de la théorie générale des équations diiïérentielles, car l'équation est de la forme :

On peut, dailleurs, s'en rendre compte de la manière suivante.

Soit :

V = yj A,„,« i'"x"

On aura :

dt et:

D'où, en identifiant :

{m + 1) A(,„ + ,,,„ = [n + 1) [n -f- ±) A„ ,.„ ^.2^ Formons le tableau des coefficients :

On voit donc que la relation de récurrence permet de calculer les coefficients de la (m + 1)™* colonne, connaissant ceux de la m'"% ou bien ceux de la {n -|- ^)^ lig"ne, connaissant ceux de la n"'^

PROPAGATION DE LA CIIALEI'R. 11

162 MÉTHODE DE LAPLAGE

On voit donc que, pour déterminer la fonction, il faudra se donner ou bien les coefficients de la première colonne, ou bien ceux des deux premières lignes, c'est-à-dire, dans le premier cas, V [x] pour ^ = o, et, dans le second cas, V et

-7~ en fonction de l pour a? = o.

dcc ^

On a donc, suivant le cas, une ou deux fonctions arbitraires.

88. Considérons t, x^ V comme les coordonnées rectangulaires d'un point,

La fonction V sera représentée par une surface.

Si l'on se donne la valeur de V en fonction de x pour f = o, ou en fonction de t pour ^ = o, cela revient à faire passer la surface par une courbe donnée : dans le premier cas, on a une surface bien définie, et dans le second cas on obtient une infinité de surfaces ; dans ce dernier cas, toutes les surfaces obtenues coupent le plan f = o suivant certaines courbes cc"c' ...

Ces courbes ne sont pas quelconques, car l'une d'entre elles suffit pour définir la surface qui la contient.

Voyons quelle est la propriété commune à ces courbes.

Supposons que pour x =i o oxv ait :

V = cp (<) = o dx

' L'équation différentielle ne change pas si on change V en — V et a; en — x. Les équations aux limites ne changent pas non plus ; donc V est une fonction impaire de x. On devra donc avoir :

EXTENSION DE LA SOLUTION DE LAPLAGE lfi3

C'est-à-dire que les courbes ce" sont symétriques par

rapport à l'origine.

Si on suppose ^(<) quelconque, considérons deux surfaces V^ et V2 de la famille, coupant le plan i = o suivant les deux courbes C, et Gg dont les équations sont :

Va -AN

Pour a; = o, on a :

Considérons la fonction V, — Vo, elle satisfait à l'équation différentielle, s'annule pour x = o, et se réduit pour l = o

à^(^) — AC^)-

On a donc :

On voit donc que, si on se donne la valeur de la fonction pour iT = o, on ne pourra plus se la donner d'une manière quelconque pour / = o.

Il résulte des considérations précédentes que la question du nombre des fonctions arbitraires qui entrent dans la solution d'une équation différentielle est dénuée de sens par elle-même.

89. Extension de la solution de Laplace au cas de trois dimensions. — Considérons un solide indéfini à trois dimensions.

L'équation du mouvement de la chaleur est, comme on l'a